ČIASTKOVÉ DERIVÁTY: ZÁPIS, PRÍKLADY A VYRIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

K parciálne derivácie v závislosti na niekoľkých premenných, sú tie, ktoré určujú rýchlosť zmeny funkcie, keď jedna z premenných má nekonečne variácie, zatiaľ čo ostatné premenné zostávajú bez zmeny.

Aby bola myšlienka konkrétnejšia, predpokladajme funkciu dvoch premenných: z = f (x, y). Čiastkový derivát funkcie f vzhľadom na premennú x sa vypočíta ako obyčajný derivát vzhľadom na x, ale premenná y sa vezme ako konštantná.

Obrázok 1. Funkcia f (x, y) a jej čiastkové deriváty ∂ _x f y ∂ _y f v bode P. (Vypracoval R. Pérez s geogebraou)

Zápis čiastočného derivátu

Čiastočná derivačná operácia funkcie f (x, y) premennej x sa označuje niektorým z nasledujúcich spôsobov:

V čiastkových derivátoch sa používa symbol ∂ (druh zaokrúhleného písmena d tiež nazývaného Jacobiho d), na rozdiel od obyčajného derivátu pre funkcie s jednou premennou, kde písmeno d sa používa pre deriváciu.

Všeobecne povedané, čiastočná derivácia viacrozmernej funkcie, vzhľadom na jednu z jej premenných, vedie k novej funkcii v rovnakých premenných pôvodnej funkcie:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Výpočet a význam čiastočného derivátu

Určenie rýchlosti zmeny alebo sklonu funkcie pre konkrétny bod (x = a, y = b) v smere rovnobežnom s osou X:

1 - Vypočíta sa funkcia ∂ _x f (x, y) = g (x, y), pričom obyčajný derivát sa získa z premennej x a nechá sa z premennej y stáť alebo konštantná.

2- Potom sa nahradí hodnota bodu x = a a y = b, v ktorom chceme poznať rýchlosť zmeny funkcie v smere x:

{Sklon v smere x v bode (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3 Pre výpočet rýchlosti zmeny v smere y na súradnici bodu (A, B), prvý Spočítaj ∂ _a f (x, y) = h (x, y).

4- Potom sa bod (x = a, y = b) nahradí v predchádzajúcom výsledku a získa sa:

{Sklon v smere y v bode (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Príklady čiastkových derivátov

Niektoré príklady čiastkových derivátov sú tieto:

Príklad 1

Vzhľadom na funkciu:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Nájdite čiastkové derivácie funkcie f vzhľadom na premennú xa premennú y.

Riešenie:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2r

Všimnite si, že na výpočet čiastočného derivátu funkcie f vzhľadom na premennú x sa uskutočnil bežný derivát vzhľadom na x, ale premenná y sa považovala za konštantnú. Podobne sa pri výpočte čiastočného derivátu f vzhľadom na y premena x považovala za konštantu.

Funkcia f (x, y) je plocha nazývaná paraboloid znázornená na obrázku 1 v okrovej farbe.

Príklad 2

Nájdite rýchlosť zmeny (alebo sklonu) funkcie f (x, y) z príkladu 1 v smere osi X a osi Y pre bod (x = 1, y = 2).

Riešenie: Na nájdenie sklonov v smere xay v danom bode jednoducho nahraďte hodnoty bodu funkciou ∂ _x f (x, y) a funkciou ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _a f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Obrázok 1 ukazuje dotyčnicu (v červenej farbe) ku krivke určenej priesečníkom funkcie f (x, y) s rovinou y = 2, sklon tejto čiary je -2. Obrázok 1 tiež znázorňuje dotyčnicu (zelenú) ku krivke, ktorá definuje priesečník funkcie f s rovinou x = 1; Tento riadok má sklon -4.

cvičenie

Cvičenie 1

Kónické sklo v danom čase obsahuje vodu, takže povrch vody má polomer r a hĺbku h. Sklo má však na dne malý otvor, cez ktorý sa stráca voda rýchlosťou C kubických centimetrov za sekundu. Určite rýchlosť klesania z vodnej hladiny v centimetroch za sekundu.

Riešenie:

Najskôr je potrebné si uvedomiť, že objem vody v danom okamihu je:

Objem je funkciou dvoch premenných, polomeru r a hĺbky h: V (r, h).

Keď sa objem zmení o nekonečné množstvo dV, polomer r vodnej hladiny a hĺbka h vody sa tiež zmenia podľa nasledujúceho vzťahu:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Pokračujeme vo výpočte parciálnych derivátov V vzhľadom na r a h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ πr ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ πr ^ 2h) = ⅓ πr ^ 2

Okrem toho polomer r a hĺbka h spĺňajú nasledujúci vzťah:

Vydelením oboch členov časovým rozdielom dt:

dV / dt = πr ^ 2 (dh / dt)

Ale dV / dt je objem vody stratený za jednotku času, o ktorej je známe, že je C centimetrov za sekundu, zatiaľ čo dh / dt je rýchlosť klesania voľnej hladiny vody, ktorá sa bude nazývať v. To znamená, že hladina vody v danom okamihu klesá rýchlosťou v (v cm / s) danou:

v = C / (nR ^ 2).

Ako numerická aplikácia predpokladajme, že r = 3 cm, h = 4 cm a rýchlosť úniku C je 3 cm ^ 3 / s. Potom rýchlosť klesania povrchu v danom okamihu je:

v = 3 / (n3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Cvičenie 2

Clairautova - Schwarzova veta uvádza, že ak je funkcia spojitá vo svojich nezávislých premenných a jej čiastkové deriváty vzhľadom na nezávislé premenné sú tiež spojité, potom je možné zamieňať zmiešané deriváty druhého poriadku. Skontrolujte túto vetu o funkcii

f (x, y) = x ^ 2 y, to znamená, že musí platiť, že f _xy f = ∂ _yx f.

Riešenie:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), zatiaľ čo ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Ukázalo sa, že Schwarzova veta platí, pretože funkcia f a jej čiastkové deriváty sú spojité pre všetky reálne čísla.

Referencie

1. Frank Ayres, J. a Mendelson, E. (2000). Výpočet 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometriou. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulácia. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet. Prepona.
5. Saenz, J. (2006). Integrálny počet. Prepona.
6. Wikipedia. Čiastočný derivát. Obnovené z: es.wikipedia.com