IMPLICITNÉ DERIVÁTY: AKO SÚ RIEŠENÉ A CVIČENÉ - MATEMATIKA - 2025

Tieto implicitné deriváty sú nástroje používané v diferencováním metóda použitá k funkciám. Použijú sa, keď nie je možné pomocou bežných metód vyriešiť odvodenú závislú premennú. Táto vôľa sa vykonáva ako funkcia nezávislej premennej.

Napríklad vo výraze 3xy ³ - 2y + xy ² = xy nie je možné získať výraz, ktorý definuje „y“ ako funkciu „x“. Takto je možné odvodiť diferenciálnu expresiu dy / dx.

Ako sa riešia implicitné deriváty?

Na vyriešenie implicitného derivátu začneme implicitným výrazom. Napríklad: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Toto už bolo správne vyriešené, avšak nie je to nevyhnutná podmienka na získanie derivátu y vzhľadom na x. Potom je každý z prvkov odvodený pri rešpektovaní pravidla reťazca pre zmiešané funkcie:

3xy ³ sa skladá z 2 premenných, preto sa s d (3xy ³ ) bude zaobchádzať ako s derivátom produktu funkcií.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Ak je prvok y 'známy ako „y prvočíslo“ a predstavuje dy / dx

-2y Je odvodený podľa zákona KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² predpokladá ďalší rozdiel zložený z produktu funkcií

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xyskupina sa lieči homológne

d (-xy) = -y - x y '

Sú nahradení rovnosťou, pretože vedia, že nulový derivát je nula.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Prvky, ktoré majú výraz y ', sú zoskupené na jednej strane rovnosti

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Spoločný faktor y 'sa získava z pravej strany rovnosti

3y ³ + y ² - y = y, (-9xy ² + x + 2)

Nakoniec sa vymaže výraz, ktorý vynásobí y '. Takto sa získa výraz zodpovedajúci implicitnému derivátu y vzhľadom na x.

y, = dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Reťazové pravidlo

Pri implicitnej derivácii sa vždy dodržiava pravidlo reťazca. Všetky diferenciálne výrazy budú dané ako funkcia nezávislej premennej X. Takže každá premenná 9, iná ako X, musí po odvodení obsahovať výraz dθ / dx.

Tento výraz sa objaví iba v prvom stupni alebo s exponentom rovným 1. Táto kvalita objasňuje tradičné metódy faktoringu. Takto je možné získať výraz, ktorý definuje diferenciálny dθ / dx.

Pravidlo reťazca ukazuje progresívnu povahu procesu diferenciácie alebo derivácie. Kde pre každú zloženú funkciu f máme diferenciálne vyjadrenie f

Prevádzkový poriadok

V každom použitom vzorci alebo zákone o derivácii sa musí zohľadniť poradie premenných. Kritériá spojené s nezávislou premennou sa dodržiavajú bez toho, aby sa menila jej korelácia so závislou premennou.

Vzťah závislej premennej v čase derivácie sa berie priamo; S výnimkou toho, že sa to bude považovať za druhú funkciu, a preto sa pre zmiešané funkcie uplatňuje kritérium pravidla reťazca.

Toto sa môže vyvinúť vo výrazoch s viac ako 2 premennými. Na základe rovnakých princípov sa označia všetky rozdiely týkajúce sa závislých premenných.

Graficky sa zaobchádza s rovnakým kritériom, ktoré definuje derivát. Zatiaľ čo derivát je sklon dotyčnice k krivke v rovine, zvyšné diferenciály patriace do závislých premenných (dy / dx, dz / dx) predstavujú roviny dotýkajúce sa vektorových telies opísaných viacerými premennými funkciami.

implicitné

Funkcie sa hovorí, že presne definovaná v prípade, že výraz y = f (x) je možné vyjadriť ako funkciu viacnásobné premennej F (x, y) = 0, ako dlho, ako je F je definované v R ² rovine .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy je možné písať v tvare 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Vzhľadom na nemožnosť urobiť funkciu y = f (x) explicitnou.

histórie

Okolo sedemnásteho storočia začali diferenciálny počet pomenovať rôzni matematickí vedci. Prvýkrát to bolo spomenuté prostredníctvom príspevkov Newtona a Leibniza. Obaja liečili diferenciálny počet z rôznych hľadísk, ale vo svojich výsledkoch sa zbližovali.

Zatiaľ čo Newton sa zameriaval na diferenciáciu ako rýchlosť alebo rýchlosť zmeny, Leibnizov prístup bol viac geometrický. Dá sa povedať, že Newton zaútočil na dohady, ktoré zanechali Apollonius z Perge a Leibniz geometrické myšlienky Fermata.

Implicitná derivácia sa objaví okamžite, keď sa vezmú do úvahy diferenciálne a integrálne rovnice. Tieto rozšírené geometrickou koncepciu Leibniz až R ³ , a dokonca aj na viacrozmerných priestoroch.

aplikácia

Implicitné deriváty sa používajú v rôznych situáciách. Sú bežné v problémoch výmenných kurzov medzi súvisiacimi premennými, kde sa premenné budú v závislosti od zmyslu štúdie považovať za závislé alebo nezávislé.

Majú tiež zaujímavé geometrické aplikácie, napríklad pri odrazoch alebo problémoch s tieňmi, na obrázkoch, ktorých tvar je možné matematicky modelovať.

Často sa používajú v oblasti ekonómie a strojárstva, ako aj pri rôznych výskumoch prírodných javov a experimentálnych budov.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Definujte implicitný výraz, ktorý definuje dy / dx

Každý prvok výrazu je diferencovaný

Stanovenie pravidla reťazca v každom príslušnom prípade

Zoskupenie prvkov, ktoré majú dy / dx, na jednej strane rovnosti

Je faktorovaný pomocou spoločného faktora

Vyrieši sa získanie požadovaného výrazu

Cvičenie 2

Definujte implicitný výraz, ktorý definuje dy / dx

Vyjadrenie derivátov, ktoré sa majú vykonať

Implicitné odvodenie podľa pravidla reťazca

Faktoring spoločných prvkov

Zoskupenie termínu dy / dx na jednej strane rovnosti

Spoločný faktor pre diferenciálny prvok

Izolujeme a získame požadovanú expresiu

Referencie

1. Počet jednotlivých premenných. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. novembra 2008
2. Implicitná teória funkcií: História, teória a aplikácie. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. novembra. 2012
3. Multivariabilná analýza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. decembra. 2010
4. Dynamika systému: Modelovanie, simulácia a riadenie mechatronických systémov. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. marca 2012
5. Matematika a modelovanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. januára 1999