ALGEBRAICKÉ DERIVÁTY (S PRÍKLADMI) - MATEMATIKA - 2026

V algebraické deriváty sa skladajú zo štúdia derivátu v prípade algebraických funkcií. Pôvod pojmu derivát sa datuje do starovekého Grécka. Vývoj tohto pojmu bol motivovaný potrebou vyriešiť dva dôležité problémy, jeden vo fyzike a druhý v matematike.

Vo fyzike derivát rieši problém stanovenia okamžitej rýchlosti pohybujúceho sa objektu. V matematike vám umožňuje nájsť dotyčnicu k krivke v danom bode.

Aj keď v skutočnosti existuje oveľa viac problémov, ktoré sa riešia použitím derivátu, ako aj jeho zovšeobecnenie, výsledky, ktoré prišli po zavedení jeho koncepcie.

Priekopníkmi diferenciálneho počtu sú Newton a Leibniz. Predtým, ako uvedieme formálnu definíciu, budeme rozvíjať myšlienku, ktorá sa skrýva za ňou, z matematického a fyzického hľadiska.

Derivácia ako sklon dotyčnice k krivke

Predpokladajme, že graf funkcie y = f (x) je spojitý graf (bez vrcholov alebo vrcholov alebo medzier) a nech A = (a, f (a)) je jeho pevným bodom. Chceme nájsť rovnicu priamky dotýkajúcu sa grafu funkcie f v bode A.

Vezmime akýkoľvek ďalší bod P = (x, f (x)) v grafe blízko bodu A a nakreslite secantovú čiaru, ktorá prechádza cez A a P. Secantová čiara je čiara, ktorá oreže graf krivky o jeden alebo viac bodov.

Aby sme získali dotyčnicu, ktorú chceme, musíme vypočítať iba sklon, pretože už na riadku máme bod: bod A.

Ak presunieme bod P pozdĺž grafu a priblížime sa bližšie k bodu A, vyššie uvedená secantová čiara sa priblíži k dotyčnici, ktorú chceme nájsť. Keď vezmeme limit, keď „P má sklon k A“, obe čiary sa prekrývajú, a teda aj ich sklony.

Sklon secantovej čiary je daný vzťahom

Tvrdenie, že P sa blíži A, je ekvivalentné tvrdeniu, že „x“ sa blíži „a“. Sklon dotyčnice k grafu f v bode A sa teda rovná:

Vyššie uvedený výraz je označený f '(a) a je definovaný ako derivát funkcie f v bode „a“. Preto vidíme, že analyticky je derivácia funkcie v bode limitom, ale geometricky je to sklon dotyčnice k grafu funkcie v bode.

Teraz sa pozrieme na túto predstavu z hľadiska fyziky. Dostaneme sa k rovnakému vyjadreniu predchádzajúceho limitu, hoci inou cestou, čím dosiahneme jednomyseľnosť definície.

Derivácia ako okamžitá rýchlosť pohybujúceho sa objektu

Pozrime sa na krátky príklad toho, čo znamená okamžitá rýchlosť. Keď sa napríklad hovorí, že auto do cieľa tak urobilo rýchlosťou 100 km za hodinu, čo znamená, že za hodinu cestoval 100 km.

To nevyhnutne neznamená, že v priebehu celej hodiny bolo vozidlo vždy 100 km, a rýchlomer vozidla mohol v niektorých okamihoch označovať menej alebo viac. Ak ste museli zastaviť na semafore, vaša rýchlosť bola v tom čase 0 km. Cesta však bola po hodine 100 km.

Toto je známe ako priemerná rýchlosť a je dané podielom prejdenej vzdialenosti a ubehnutého času, ako sme práve videli. Okamžitá rýchlosť, na druhej strane, je rýchlosť, ktorá označuje ihlu tachometra automobilu v danom okamihu (čase).

Pozrime sa na to teraz všeobecnejšie. Predpokladajme, že objekt sa pohybuje pozdĺž priamky a že tento posun je reprezentovaný rovnicou s = f (t), kde premenná t meria čas a premenná s posunom, pričom sa berie do úvahy jej začiatok v okamih t = 0, kedy je tiež nula, tj f (0) = 0.

Táto funkcia f (t) je známa ako funkcia polohy.

Hľadá sa výraz okamžitej rýchlosti objektu v pevnom okamihu „a“. Pri tejto rýchlosti to označíme pomocou V (a).

Nech je t okamžitý „okamžitý“ okamih. V časovom intervale medzi „a“ a „t“ je zmena polohy objektu daná f (t) -f (a).

Priemerná rýchlosť v tomto časovom intervale je:

Čo je aproximácia okamžitej rýchlosti V (a). Táto aproximácia bude lepšia, keď sa t dostane bližšie k „a“. To znamená,

Všimnite si, že tento výraz je rovnaký ako výraz získaný v predchádzajúcom prípade, ale z iného hľadiska. Toto je známe ako derivát funkcie f v bode „a“ a je označené f '(a), ako je uvedené vyššie.

Všimnite si, že ak vykonáme zmenu h = xa, máme to, že keď „x“ má tendenciu „a“, „h“ má tendenciu 0 a predchádzajúci limit sa transformuje (ekvivalentne) na:

Oba výrazy sú rovnocenné, ale niekedy je lepšie použiť jeden namiesto druhého, v závislosti od prípadu.

Derivát funkcie f v ktoromkoľvek bode "x" patriaci k jeho doméne je potom definovaný všeobecnejšie ako

Najbežnejšou notáciou, ktorá predstavuje derivát funkcie y = f (x), je tá, ktorú sme práve videli (f 'alebo y'). Ďalším široko používaným zápisom je však Leibnizov zápis, ktorý je vyjadrený ako ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov:

Keďže derivát je v podstate limitom, môže alebo nemusí existovať, pretože limity nie vždy existujú. Ak existuje, predmetná funkcia sa v danom bode považuje za diferencovateľnú.

Algebraická funkcia

Algebraická funkcia je kombináciou polynómov pomocou sčítania, odčítania, súčinov, kvocientov, síl a radikálov.

Polynóm je vyjadrenie formy

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Kde n je prirodzené číslo a všetky a _i , s i = 0,1, …, n, sú racionálne čísla a _n ≠ 0. V tomto prípade je stupeň tohto polynómu označený ako n.

Nasledujú príklady algebraických funkcií:

Exponenciálne, logaritmické a trigonometrické funkcie tu nie sú zahrnuté. Pravidlá derivácie, ktoré uvidíme ďalej, platia pre funkcie všeobecne, ale obmedzíme sa a použijeme ich v prípade algebraických funkcií.

Pravidlá obtoku

Derivát konštanty

Uvádza, že derivát konštanty je nula. To znamená, že ak f (x) = c, potom f '(x) = 0. Napríklad derivát konštantnej funkcie 2 sa rovná 0.

Derivácia sily

Ak f (x) = x ⁿ , potom f '(x) = nx ^n-1 . Napríklad derivát x ³ je 3x ² . V dôsledku toho získame, že derivát funkcie identity f (x) = x je f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Ďalší príklad je nasledujúci: nech f (x) = 1 / x ² , potom f (x) = x ^-2 a f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Táto vlastnosť je tiež platným koreňom, pretože korene sú racionálne právomoci a vyššie uvedené sa dá použiť aj v takom prípade. Napríklad derivácia druhej odmocniny je daná vzťahom

Derivát sčítania a odčítania

Ak sú f a g diferencovateľné funkcie v x, potom súčet f + g je tiež diferencovateľný a je uspokojivé, že (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Podobne máme (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Inými slovami, derivát súčtu (odčítanie) je súčtom (alebo odčítaním) derivátov.

príklad

Ak h (x) = x ² + x-1, potom

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Odvodené z produktu

Ak sú f a g diferencovateľné funkcie v x, potom je produkt fg tiež diferencovateľný v x a je to tak

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

V dôsledku toho z toho vyplýva, že ak c je konštanta a f je diferencovateľná funkcia v x, potom je cf tiež diferencovateľná v x a (cf) '(x) = cf' (X).

príklad

Ak f (x) = 3x (x ² +1), potom

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Derivát kvocientu

Ak sú f a g diferencovateľné na x a g (x) ≠ 0, potom f / g je tiež diferencovateľné na x a je pravda, že

Príklad: ak h (x) = x ³ / (x ² -5x), potom

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Reťazové pravidlo

Toto pravidlo umožňuje odvodiť zloženie funkcií. Uveďte nasledujúce: ak y = f (u) je premenlivá v u, yu = g (x) je premenlivá v x, potom zložená funkcia f (g (x)) je diferencovateľná v x a platí, že '= f „(g (x)) g“ (x).

To znamená, že derivát zloženej funkcie je súčinom derivátu externej funkcie (externý derivát) a derivátu vnútornej funkcie (interný derivát).

príklad

Ak f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , potom

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Existujú tiež výsledky na výpočet derivátu inverzie funkcie, ako aj zovšeobecnenie na deriváty vyššieho poriadku. Aplikácie sú rozsiahle. Medzi nimi vyniká jej užitočnosť v problémoch optimalizácie a maximálna a minimálna funkcia.

Referencie

1. Alarcon, S., González, M. a Quintana, H. (2008). Diferenciálny počet. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Výpočet 4000. Redakčný progres.
3. Castaño, HF (2005). Matematika pred výpočtom. Univerzita v Medellíne.
4. Eduardo, NA (2003). Úvod do počtu. Vydanie prahových hodnôt.
5. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÁ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Kalkulácia. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet (druhé vydanie). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, a Weir, MD (2006). Výpočet: niekoľko premenných. Pearson Education.