- Dĺžka akordu kruhu
- Stringova veta
- Riešené cvičenia strún
- - Cvičenie 1
- Riešenie
- - Cvičenie 2
- Riešenie
- Krok 1: získajte kanonickú rovnicu obvodu
- Krok 2: určte segmenty, ktoré sa majú použiť v reťazci vety
- Referencie
Akord , v rovinné geometriu, je úsečka, ktorá spája dva body na krivke. Čiara, ktorá obsahuje tento segment, je označená ako krivka secant. Toto je často kruh, ale akordy možno určite nakresliť na mnohých ďalších krivkách, ako sú napríklad elipsy a paraboly.
Na obrázku 1 vľavo je krivka, do ktorej patria body A a B. Akord medzi A a B je zelený segment. Napravo je obvod a jeden z jeho reťazcov, pretože je možné kresliť nekonečno.
Obrázok 1. Vľavo je akord ľubovoľnej krivky a vpravo akord kruhu. Zdroj: Wikimedia Commons.
Na jeho obvode je obzvlášť zaujímavý jeho priemer, ktorý je známy aj ako hlavný akord. Je to akord, ktorý vždy obsahuje stred obvodu a meria dvakrát polomer.
Nasledujúci obrázok zobrazuje polomer, priemer, strunu a tiež oblúk obvodu. Správna identifikácia každého z nich je dôležitá pri riešení problémov.
Obrázok 2. Prvky obvodu. Zdroj: Wikimedia Commons.
Dĺžka akordu kruhu
Na obrázku 3a a 3b je možné vypočítať dĺžku akordu v kruhu. Všimnite si, že trojuholník je vždy tvorený dvoma rovnakými stranami (rovnoramennými): segmenty OA a OB, ktoré merajú R, polomer obvodu. Tretia strana trojuholníka je segment AB, nazývaný C, čo je presne dĺžka akordu.
Je potrebné nakresliť čiaru kolmú na akord C, aby sme nakreslili uhol 9, ktorý existuje medzi oboma polomermi a ktorého vrchol je stredom O obvodu. Toto je stredový uhol - pretože jeho vrchol je stredom - a čiara deliaca čiara je tiež po obvode sekáčiková.
Okamžite sa vytvoria dva pravouhlé trojuholníky, ktorých prepona meria R. Keďže čiara a spolu s jej priemerom rozdeľuje akord na dve rovnaké časti, ukazuje sa, že jedna z nôh má polovicu C, ako je uvedené v Obrázok 3b.
Z definície sínusového uhla:
sin (9/2) = protiľahlá noha / prepona = (C / 2) / R
teda:
sin (9/2) = C / 2R
C = 2R sin (9/2)
Obrázok 3. Trojuholník tvorený dvoma polomermi a obvodovou čiarou je rovnoramenný (obrázok 3), pretože má dve rovnaké strany. Deliaca čiara ho delí na dva pravé trojuholníky (obrázok 3b). Zdroj: pripravil F. Zapata.
Stringova veta
Reťazcová veta vyzerá takto:
Na nasledujúcom obrázku sú znázornené dva akordy toho istého obvodu: AB a CD, ktoré sa pretínajú v bode P. V akordu AB sú definované segmenty AP a PB, zatiaľ čo v akorde sú definované CD CP a PD. Podľa vety:
AP. PB = CP. PS:
Obrázok 4. Akordová veta kruhu. Zdroj: F. Zapata.
Riešené cvičenia strún
- Cvičenie 1
Kruh má 48 cm akord, ktorý je 7 cm od stredu. Vypočítajte plochu kruhu a obvod obvodu.
Riešenie
Na výpočet plochy kruhu A stačí poznať polomer obvodu na druhú, pretože je to pravda:
A = π.R 2
Teraz je obrázok, ktorý je tvorený poskytnutými údajmi, pravouhlý trojuholník, ktorého nohy sú 7 a 24 cm.
Obrázok 5. Geometria pre vyriešené cvičenie 1. Zdroj: F. Zapata.
Preto, aby sa nájsť hodnotu R 2 , Pytagorovej vety c 2 = a 2 + b 2 sa aplikuje priamo , pretože R je prepona trojuholníka:
R 2 = (7 cm), 2 + (24 cm), 2 = 625 cm 2
Požadovaná oblasť je teda:
A = π. 625 cm 2 = 1963.5 cm 2
Pokiaľ ide o obvod alebo dĺžku L obvodu, vypočíta sa:
L = 2π. R
Náhradné hodnoty:
R = √625 cm 2 = 25 cm
L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.
- Cvičenie 2
Určte dĺžku akordu kruhu, ktorého rovnica je:
x 2 + y 2 - 6x - 14Y -111 = 0
Súradnice stredu akordu sú známe ako P (17/2; 7/2).
Riešenie
Stred akordu P nepatrí do obvodu, ale koncové body akordu áno. Tento problém sa dá vyriešiť pomocou vyššie uvedenej vety o vetve, ale najprv je vhodné zapísať rovnicu obvodu v kanonickej podobe, aby sa určil jeho polomer R a jeho stred O.
Krok 1: získajte kanonickú rovnicu obvodu
Kanonická rovnica kruhu so stredom (h, k) je:
(H x) 2 + (yk) 2 = R 2
Ak ju chcete získať, musíte vyplniť štvorce:
(X 2 - 6x) + (y 2 - 14Y) -111 = 0
Všimnite si, že 6x = 2. (3x) a 14r = 2. (7r), takže predchádzajúci výraz sa prepíše takto, zostane nezmenený:
(X 2 - 6x + 3 2 -3 2 ) + (y 2 - 14Y + 7 2 -7 2 ) -111 = 0
A teraz, keď si spomenieme na definíciu pozoruhodného produktu (ab) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , môžete napísať:
(x - 3) 2 - 3 2 + (y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 169
Obvod má stred (3,7) a polomer R = √169 = 13. Nasledujúci obrázok zobrazuje graf obvodu a akordy, ktoré sa použijú v teórii:
Obrázok 6. Graf obvodu vyriešeného cvičenia 2. Zdroj: F. Zapata pomocou online grafickej kalkulačky Mathway.
Krok 2: určte segmenty, ktoré sa majú použiť v reťazci vety
Ako segmenty sa použijú reťazce CD a AB podľa obr. 6, ktoré sú rezané v bode P, a preto:
CP. PD = AP. PB
Teraz nájdeme vzdialenosť medzi bodmi O a P, pretože to nám poskytne dĺžku segmentu OP. Ak k tejto dĺžke pridáme polomer, budeme mať segment CP.
Vzdialenosť d OP medzi dvoma súradnicovými bodmi (x 1 , y 1 ) a (x 2 , y 2 ) je:
d OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 = (3 - 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = -170/2
So všetkými získanými výsledkami a grafom zostavíme nasledujúci zoznam segmentov (pozri obrázok 6):
CO = 13 cm = R
OP = -170 / 2 cm
CP = OP + R = 13 + -170 / 2 cm
PD = OD - OP = 13 - -170 / 2 cm
AP = PB
2.AP = dĺžka akordu
Nahradenie v reťazcovej vete:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
Dĺžka reťazca je 2.AP = 2 (-253 / 2) = -506
Dokáže čitateľ problém vyriešiť iným spôsobom?
Referencie
- Baldor, A. 2004. Rovinná a priestorová geometria s trigonometriou. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- C-K12. Dĺžka akordu. Obnovené z: ck12.org.
- Escobar, J. The Circumference. Obnovené z: matematicas.udea.edu.co.
- Villena, M. Cónicas. Obnovené z: dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. Lano (geometria). Obnovené z: es.wikipedia.org.