ŠTVORUHOLNÍK: PRVKY, VLASTNOSTI, KLASIFIKÁCIA, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Štvoruholník je polygón so štyrmi stranami a štyrmi vrcholmi. Jeho protiľahlé strany sú tie, ktoré nemajú spoločné vrcholy, zatiaľ čo po sebe idúce strany sú tie, ktoré majú spoločný vrchol.

V štvoruholníku susedné uhly zdieľajú jednu stranu, zatiaľ čo opačné uhly nemajú spoločné strany. Ďalšou dôležitou charakteristikou štvoruholníka je, že súčet jeho štyroch vnútorných uhlov je dvojnásobok rovinného uhla, tj 360 ° alebo 2π radiány.

Obrázok 1. Rôzne štvoruholníky. Zdroj: F. Zapata.

Diagonály sú segmenty, ktoré spájajú vrchol s jeho opakom a v danom štvoruholníku je možné z každého vrcholu nakresliť jednu uhlopriečku. Celkový počet uhlopriečok v štvoruholníku sú dva.

Quadrilaterals sú postavy známe ľudstvu od staroveku. Svedčia o tom archeologické záznamy, ako aj stavby, ktoré dnes prežívajú.

Podobne aj dnes sú štvoruholníky naďalej dôležitou súčasťou každodenného života všetkých. Čitateľ nájde tento formulár na obrazovke, na ktorej práve číta text, na oknách, dverách, automobilových súčiastkach a na nespočetných ďalších miestach.

Štvorstranná klasifikácia

Podľa paralelizmu na opačných stranách sa štvoruholníky klasifikujú takto:

1. Trapézoid, keď neexistuje paralelizmus a štvoruholník je konvexný.
2. Trapézoid, keď existuje rovnobežnosť medzi jedným párom protiľahlých strán.
3. Parallelogram, ak jeho protiľahlé strany sú rovnobežné dva po dvoch.

Obrázok 2. Klasifikácia a subklasifikácia štvoruholníkov. Zdroj: Wikimedia Commons.

Druhy rovnobežníkov

Paralelogramy sa zase dajú klasifikovať podľa ich uhlov a strán:

1. Obdĺžnik je rovnobežník, ktorý má rovnaké štyri vnútorné uhly. Vnútorné uhly obdĺžnika zvierajú pravý uhol (90 °).
2. Štvorec je obdĺžnik so svojimi štyrmi stranami rovnakej miery.
3. Rhombus je rovnobežník so štyrmi rovnakými stranami, ale rôznymi susednými uhlami.
4. Kosoštvorec, rovnobežník s rôznymi susednými uhlami.

trapéz

Lichobežník je konvexný štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami.

Obrázok 3. Základne, boky, výška a medián lichobežníka. Zdroj: Wikimedia Commons.

- V lichobežníku sa rovnobežné strany nazývajú základne a nerovnobežné strany sa nazývajú bočné.

- Výška lichobežníka je vzdialenosť medzi dvoma základňami, to znamená dĺžka segmentu s koncami v základniach a kolmá na ne. Tento segment sa nazýva aj výška lichobežníka.

- Medián je segment, ktorý sa pripája k stredovým bodom bočných stien. Je možné preukázať, že stredná rovina je rovnobežná so základňou lichobežníka a jej dĺžka sa rovná polovici základne.

- Plocha lichobežníka je jeho výška vynásobená semi-súčtom základov:

Druhy lichobežníkov

- Obdĺžnikový lichobežník : je to strana so stranou kolmou na základňu. Táto strana je tiež výškou lichobežníka.

- lichobežník lichobežníkový : ten so stranami rovnakej dĺžky. V lichobežníkovom rovnoramennom uhle sú uhly susediace so základňami rovnaké.

-Seklenové lichobežníkové : ten so stranami rôznych dĺžok. Jeho opačné uhly môžu byť jeden ostrý a druhý tupý, ale môže sa tiež stať, že oba sú tupé alebo oba ostré.

Obrázok 4. Typy lichobežníkov. Zdroj: F. Zapata.

rovnobežník

Paralelogram je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú dve po dvoch rovnobežné. V rovnobežníku sú protiľahlé uhly rovnaké a susedné uhly sú doplnkové alebo, inak povedané, susedné uhly sa zväčšujú až o 180 °.

Ak má rovnobežník pravý uhol, všetky ostatné uhly budú tiež príliš veľké a výsledná hodnota sa nazýva obdĺžnik. Ak má však obdĺžnik rovnako susedné strany rovnakej dĺžky, potom sú všetky jeho strany rovnaké a výsledná hodnota je štvorec.

Obrázok 5. Parallelogramy. Obdĺžnik, štvorec a kosoštvorec sú rovnobežníky. Zdroj: F. Zapata.

Ak má rovnobežník dve susedné strany rovnakej dĺžky, všetky jeho strany budú mať rovnakú dĺžku a výsledná hodnota je kosoštvorec.

Výška rovnobežníka je segment s koncami na jeho protiľahlých stranách a kolmými na ne.

Oblasť rovnobežníka

Plocha rovnobežníka je súčinom základne a jej výšky, pričom základňa je strana kolmá na výšku (obrázok 6).

Diagonály rovnobežníka

Štvorec uhlopriečky, ktorý začína od vrcholu, sa rovná súčtu štvorcov dvoch strán susediacich s uvedeným vrcholom plus dvojitý súčin týchto strán kosínusom uhla tohto vrcholu:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Obrázok 6. Parallelogram. Opačné uhly, výška, uhlopriečky. Zdroj: F. Zapata.

Štvorec uhlopriečky oproti vrcholu rovnobežníka sa rovná súčtu štvorcov dvoch strán susediacich s uvedeným vrcholom a odčítaním dvojitého súčinu týchto strán kosínusom uhla tohto vrcholu:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Zákon rovnobežníkov

V ktoromkoľvek rovnobežníku je súčet štvorcov jeho strán rovný súčtu štvorcov uhlopriečok:

² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Obdĺžnik je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné dva po dvoch a ktoré má tiež pravý uhol. Inými slovami, obdĺžnik je typ rovnobežníka s pravým uhlom. Pretože sa jedná o rovnobežník, obdĺžnik má opačné strany rovnakej dĺžky a = ca b = d.

Ale ako v každom rovnobežníku sú susedné uhly doplnkové a opačné uhly sa rovnajú, v obdĺžniku, pretože má pravý uhol, bude nevyhnutne tvoriť pravé uholníky v ostatných troch uhloch. Inými slovami, všetky vnútorné uhly v obdĺžniku merajú 90 ° alebo π / 2 radiány.

Diagonály obdĺžnika

V obdĺžniku majú uhlopriečky rovnakú dĺžku, ako bude uvedené nižšie. Dôvody sú nasledujúce; Obdĺžnik je rovnobežník so všetkými jeho pravými uhlami, a preto zdedí všetky vlastnosti rovnobežníka vrátane vzorca, ktorý udáva dĺžku uhlopriečok:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

s a = 90 °

Pretože Cos (90º) = 0, stáva sa, že:

f ² = g ² = a ² + d ²

To znamená, f = g, a preto sú dĺžky f a g dvoch uhlopriečok pravouholníka rovnaké a ich dĺžka je daná vzťahom:

Ďalej, ak v obdĺžniku so susednými stranami a a b je jedna strana braná ako základ, druhá strana bude výška a následne bude oblasť obdĺžnika:

Plocha obdĺžnika = sekera b.

Obvod je súčet všetkých strán obdĺžnika, ale pretože protiklady sú rovnaké, vyplýva z toho, že pre obdĺžnik so stranami aab je obvod daný nasledujúcim vzorcom:

Obvod obdĺžnika = 2 (a + b)

Obrázok 7. Obdĺžnik so stranami a a b. Diagonály fag sú rovnako dlhé. Zdroj: F. Zapata.

Námestie

Štvorec je obdĺžnik, ktorého susedné strany majú rovnakú dĺžku. Ak má štvorec stranu a, jeho uhlopriečky fag majú rovnakú dĺžku, čo je f = g = (√2) a.

Plocha štvorca je jeho bočná hrana:

Plocha štvorca = a ²

Obvod štvorca je dvojnásobok strany:

Obvod štvorca = 4 a

Obrázok 8. Štvorec so stranou a označujúci jeho plochu, obvod a dĺžku uhlopriečok. Zdroj: F. Zapata ..

diamant

Kosočtverec je rovnobežník s jeho susednými stranami rovnakej dĺžky, ale pretože v rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké, potom sú všetky strany kosoštvorca rovnaké.

Diagonály kosoštvorca majú rôznu dĺžku, ale pretínajú sa v pravom uhle.

Obrázok 9. Kosoštvorec boku a označujúci jeho plochu, obvod a dĺžku uhlopriečok. Zdroj: F. Zapata.

Príklady

Príklad 1

Ukážte, že v štvoruholníku (neprekríženom) sa vnútorné uhly zväčšia až o 360 °.

Obrázok 10: Je znázornené, ako súčet uhlov štvoruholníka dosahuje 360 ​​stupňov. Zdroj: F. Zapata.

Uvažuje sa o štvoruholníku ABCD (pozri obrázok 10) a nakreslí sa diagonálna BD. Vytvoria sa dva trojuholníky ABD a BCD. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka ABD je:

a + pi ₁ + 8 ₁ = 180 °

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka BCD je:

p2 + y + 8 ₂ = 180 °

Sčítame dve rovnice, ktoré dostaneme:

a + P ₁ + 8 ₁ + P ₂ + y + 8 ₂ = 180 ° + 180 °

zoskupovanie:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180 °

Zoskupením a premenovaním sa nakoniec preukáže, že:

a + P + 5 + y = 360 °

Príklad 2

Ukážte, že medián lichobežníka je rovnobežný s jeho základňami a jeho dĺžka je semisom základov.

Obrázok 11. Medián MN lichobežníka ABCD. Zdroj: F. Zapata.

Medián lichobežníka je segment, ktorý spája stredy svojich strán, tj neparalelné strany. V lichobežníku ABCD znázornenom na obrázku 11 je medián MN.

Pretože M je stred AD a N je stred BC, pomery AM / AD a BN / BC sú rovnaké.

To znamená, že AM je úmerná BN v rovnakom pomere ako AD k BC, takže sú uvedené podmienky na uplatnenie Thalesovej (recipročnej) vety, ktorá uvádza toto:

„Ak sú proporcionálne segmenty určené v troch alebo viacerých riadkoch rezaných dvoma secantami, potom sú všetky tieto línie rovnobežné.“

V našom prípade sa dospelo k záveru, že línie MN, AB a DC sú navzájom rovnobežné, a preto:

„Medián lichobežníka je rovnobežný s jeho základňami.“

Teraz sa použije Thalesova veta:

„Súbor rovnobežiek rezaných dvoma alebo viacerými secanmi určuje proporcionálne segmenty.“

V našom prípade AD = 2 AM, AC = 2 AO, takže trojuholník DAC je podobný trojuholníku MAO, a teda DC = 2 MO.

Podobný argument nám umožňuje potvrdiť, že CAB je podobný CON, kde CA = 2 CO a CB = 2 CN. Z toho vyplýva, že AB = 2 ON.

Stručne povedané, AB = 2 ON a DC = 2 MO. Takže pri pridávaní máme:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Nakoniec sa MN vyčistí:

MN = (AB + DC) / 2

Dospelo sa k záveru, že medián lichobežníka meria semi-súčet základov, alebo inak povedané: medián meria súčet báz, delený dvoma.

Príklad 3

Ukážte, že v kosočtverci sa uhlopriečka uhlopriečne kolmá.

Obrázok 12. Rhombus a ukážka, že jeho uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle. Zdroj: F. Zapata.

Tabuľa na obrázku 12 znázorňuje potrebnú konštrukciu. Najprv sa nakreslí rovnobežník ABCD s AB = BC, tj kosoštvorec. Diagonály AC a DB určujú osem uhlov znázornených na obrázku.

Pomocou vety (aip), podľa ktorej sa striedajú vnútorné uhly medzi rovnobežkami rezanými secantom, sa dajú určiť rovnaké uhly:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ a δ2 = β2. (*)

Na druhej strane, keďže susediace strany kosoštvorca majú rovnakú dĺžku, určujú sa štyri rovnoramenné trojuholníky:

DAB, BCD, CDA a ABC

Teraz sa používa trojuholníková (rovnoramenná) veta, ktorá uvádza, že uhly susediace so základňou sú rovnako odmerané, z čoho vyplýva, že:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ a α ₁ = γ2 (**)

Ak sa vzťahy (*) a (**) kombinujú, dosiahne sa rovnaká hodnota uhlov:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ na jednej strane a β ₁ = β2 = δ ₁ = A2 na strane druhej.

Pripomínajúc vetu o rovnakých trojuholníkoch, ktorá uvádza, že dva trojuholníky s rovnakou stranou medzi dvoma rovnakými uhlami sú si rovné, máme:

AOD = AOB a následne aj uhly ∡AOD = ∡AOB.

Potom ∡AOD + ∡AOB = 180º, ale pretože oba uhly sú rovnako zmerané, máme 2 ∡AOD = 180º, z čoho vyplýva, že ∡AOD = 90º.

To znamená, že je geometricky znázornené, že uhlopriečky kosoštvorca sa pretína v pravom uhle.

Cvičenia vyriešené

- Cvičenie 1

Ukážte, že v pravom lichobežníku sú pravouhlé uhly doplnkové.

Riešenie

Obrázok 13. Pravý lichobežník. Zdroj: F. Zapata.

Lichobežníkový ABCD je konštruovaný so základňami AB a DC paralelne. Vnútorný uhol vrcholu A je pravý (meria 90 °), takže máme pravý lichobežník.

Uhly α a δ sú vnútorné uhly medzi dvoma rovnobežkami AB a DC, preto sú rovnaké, to znamená δ = α = 90 °.

Na druhej strane sa ukázalo, že súčet vnútorných uhlov štvoruholníka predstavuje 360 ​​°, to znamená:

a + P + y + 8 = 90 ° + P + 90 ° + 8 = 360 °.

Vyššie uvedené vedie k:

p + ô = 180 °

Potvrdzujúc to, čo sa malo ukázať, že uhly β a δ sú doplnkové.

- Cvičenie 2

Paralelogram ABCD má AB = 2 cm a AD = 1 cm, pričom uhol BAD je 30 °. Určite plochu tohto rovnobežníka a dĺžku jeho dvoch uhlopriečok.

Riešenie

Plocha rovnobežníka je súčinom dĺžky jeho základne a výšky. V tomto prípade sa ako základ vezme dĺžka segmentu b = AB = 2 cm, druhá strana má dĺžku a = AD = 1 cm a výška h sa vypočíta takto:

h = AD * Sen (30 °) = 1 cm * (1/2) = 0,5 cm.

Takže: Area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Referencie

1. CEA (2003). Prvky geometrie: s cvičením a kompasovou geometriou. Univerzita v Medellíne.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Objavte polygóny. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalizované polygóny. Birkhäuser.
5. Iger. (SF). Matematika Prvý semester Tacaná. Iger.
6. Geometria jr. (2014). Polygóny. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdôvodnenie a aplikácie (desiate vydanie). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakčný progres.
9. Wikipedia. Štvoruholníky. Obnovené z: es.wikipedia.com