- Pôvod pravouhlých súradníc
- Karteziánske lietadlo
- Vzdialenosť medzi dvoma bodmi
- Analytické vyjadrenie priamky
- Príklady
- Príklad 1
- Príklad 2
- Riešené cvičenia
- Cvičenie 1
- Cvičenie 2
- Referencie
V pravouhlých súradníc alebo karteziánské sú tie, ktoré sa získajú na základe kolmo vyčnievajúcich troch karteziánskych osiach X, Y, Z bod sa nachádza v troch - rozmernom priestore.
Karteziánske osi sú vzájomne orientované čiary, ktoré sú navzájom kolmé. V karteziánskom súradnicovom systéme je každému bodu v priestore priradené tri reálne číslo, ktoré je jeho pravouhlými súradnicami.
Obrázok 1. Obdĺžnikové súradnice bodu P (vlastné spracovanie)
Rovina je podpriestor trojrozmerného priestoru. V prípade zvažovania bodov v rovine stačí ako karteziánsky systém zvoliť dvojicu kolmých osí X, Y. Potom je každému bodu v rovine priradené dve skutočné čísla, ktoré sú jeho pravouhlými súradnicami.
Pôvod pravouhlých súradníc
Obdĺžnikové súradnice pôvodne navrhoval francúzsky matematik René Descartes (1596 a 1650), preto sa nazývajú karteziánske.
Pri tejto myšlienke Descartesa sú body roviny a priestor priradené čísla, takže geometrickým útvarom je priradená algebraická rovnica a klasické geometrické vety môžu byť dokázané algebraicky. S karteziánskymi súradnicami sa rodí analytická geometria.
Karteziánske lietadlo
Ak sú v rovine vybrané dve kolmé čiary, ktoré sa pretína v bode O; a ak je navyše každej línii priradený smer a numerická stupnica medzi po sebe nasledujúcimi bodmi vo vzdialenosti, potom existuje kartézsky systém alebo rovina, v ktorej je každý bod roviny spojený s usporiadaným párom dvoch skutočných čísel, ktoré sú ich priemetmi na osi X a Y.
Body A = (3, 2); B = (-2,3); C = (- 2, -3) a D = (3, -3) sú zastúpené v karteziánskej rovine, ako je uvedené nižšie:
Obrázok 2. Body v karteziánskej rovine. (Vlastné spracovanie)
Všimnite si, že dve osi X a Y rozdeľujú rovinu na štyri sektory nazývané kvadranty. Bod A je v prvom kvadrante, bod B je v druhom kvadrante, bod C je v treťom kvadrante a bod D je v štvrtom kvadrante.
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi A a B na karteziánskej rovine je dĺžka segmentu, ktorý ich spája. Túto vzdialenosť je možné analyticky vypočítať takto:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
Vyššie uvedený vzorec sa získa aplikáciou Pythagorovej vety.
Použitím tohto vzorca na body A, B na obrázku 2 máme:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
To znamená, že d (A, B) = 5,10 jednotiek. Všimnite si, že vzdialenosť sa získala bez toho, aby bolo potrebné merať pravítkom, dodržal sa úplne algebraický postup.
Analytické vyjadrenie priamky
Obdĺžnikové súradnice umožňujú analytické znázornenie základných geometrických objektov, ako sú bod a čiara. Dva body A a B definujú jeden riadok. Sklon priamky je definovaný ako kvocient medzi rozdielom súradníc Y bodu B mínus A vydelený rozdielom súradníc X bodu B mínus A:
sklon = (podľa - Ay) / (Bx - Ax)
Každý bod P súradníc (x, y), ktorý patrí k priamke (AB), musí mať rovnaký sklon:
sklon = (y - Ay) / (x - Ax)
Rovnica získaná rovnosťou svahov je analytické alebo algebraické znázornenie priamky prechádzajúcej bodmi A a B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).
Ak vezmeme pre A a B obdĺžnikové súradnice z obrázka 2, máme:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
V tomto konkrétnom prípade máme čiaru so záporným sklonom -⅕, čo znamená, že umiestnením na bode na čiare a zvýšením súradnice x o jednu jednotku sa súradnica y zníži o 0,2 jednotky.
Najbežnejším spôsobom, ako napísať rovnicu priamky v rovine, je súradnica y vymazaná ako funkcia premennej x:
y = - (1/5) x + 13/5
Príklady
Príklad 1
Analytickými metódami sa získa vzdialenosť medzi bodmi C a A, ktoré sú pravouhlými súradnicami C = (-2, -3) a súradnicami A = (3,2).
Vzorec pre euklidovskú vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi sa píše takto:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Nahradením ich zodpovedajúcich pravouhlých súradníc máme:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3-2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5 ~ 2 = 7,07
Príklad 2
Získaj rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom C súradníc (-2, -3) a bodom P súradníc (2, 0).
Najprv sa získa sklon priamky CP:
sklon = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = 3
Akýkoľvek bod Q všeobecných pravouhlých súradníc (x, y), ktorý patrí do čiary CP, musí mať rovnaký sklon:
sklon = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Inými slovami, rovnica priamky CP je:
(y +3) / (x +2) = 3
Alternatívny spôsob, ako napísať rovnicu priamky CP, je riešenie pre y:
y = ¾ x - 3/2
Riešené cvičenia
Cvičenie 1
Získajte obdĺžnikové súradnice priesečníka medzi čiarami y = - (1/5) x + 13/5 a čiarou y = ¾ x - 3/2.
Riešenie: Podľa priesečníka priesečník dvoch čiar zdieľa rovnaké pravouhlé súradnice. Z tohto dôvodu sú súradnice y v priesečníku rovnaké pre obe čiary:
- (1/5) x + 13/5 = 3 x
čo vedie k nasledujúcemu výrazu:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
riešenie súčtu frakcií získame:
19/20 x = 41/10
Riešenie pre x:
x = 82/19 = 4,32
Na získanie hodnoty y priesečníka sa získaná hodnota x nahradí v niektorom z riadkov:
y => 4,32 - 3/2 = 1,74
To znamená, že dané čiary sa pretínajú v bode I súradníc I = (4,32, 1,74).
Cvičenie 2
Zoberte rovnicu obvodu, ktorý prechádza bodom R pravouhlých súradníc (3, 4) a ktorého stred je na začiatku súradníc.
Riešenie: Polomer R je vzdialenosť od bodu R po začiatok O súradníc (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
To znamená, že je to kruh s polomerom 5 so stredom (0,0).
Každý bod P (x, y) na obvode musí mať rovnakú vzdialenosť 5 od stredu (0, 0), aby mohol byť napísaný:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
To znamená:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Aby sme eliminovali druhú odmocninu, sú na oboch stranách rovnítka a dostanú:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Aká je rovnica obvodu.
Tento príklad ilustruje silu pravouhlého súradnicového systému, ktorý umožňuje určiť geometrické objekty, napríklad obvod, bez potreby použitia papiera, ceruzky a kompasu. Požadovaný obvod bol určený výlučne algebraickými metódami.
Referencie
- Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metódy pre fyzikov. Komplexný sprievodca na cestu. 7. vydanie. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
- Výpočet cc. Riešené problémy pravouhlých súradníc. Získané z: výpočt.cc
- Weisstein, Eric W. „karteziánske súradnice“. Z webu MathWorld-A Wolfram. Obnovené z: mathworld.wolfram.com
- wikipedia. Kartézsky súradnicový systém. Obnovené z: en.wikipedia.com