SFÉRICKÉ SÚRADNICE: PRÍKLADY A RIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Tieto sférické súradnice sú sada polohy bodov v trojrozmernom priestore sa skladá z radiálneho koordinuje a dva uhlové súradnice nazývané polárnych súradníc a koordinovať azimutálnej.

Obrázok 1, ktorý vidíme nižšie, zobrazuje sférické súradnice (r, 9, φ) bodu M. Tieto súradnice sa označujú ortogonálnym systémom karteziánskych osí X, Y, Z pôvodu O.

Obrázok 1. Sférické súradnice (r, 9, φ) bodu M. (wikimedia commons)

V tomto prípade je súradnica r bodu M vzdialenosť od tohto bodu k počiatku O. Polárna súradnica 9 predstavuje uhol medzi kladnou poloosovou osou Z a polomerovým vektorom OM. Zatiaľ čo azimutálna súradnica φ je uhol medzi kladnou poloosou X a polomerovým vektorom OM ', kde M' je ortogonálna projekcia M na rovinu XY.

Radiálna súradnica r má iba kladné hodnoty, ale ak je bod na začiatku, potom r = 0. Polárna súradnica 9 berie ako minimálnu hodnotu 0 ° pre body umiestnené na kladnej poloosovej osi Z a maximálna hodnota 180 ° pre body sa nachádza na zápornej poloosovej osi Z. Nakoniec azimutálna súradnica φ berie ako minimálnu hodnotu 0 ° a maximálnu výšku 360 °.

0 ≤ r <∞

0 ≤ 9 ≤ 180 °

0 ≤ φ <360 °

Zmena súradníc

Ďalej sú uvedené vzorce, ktoré umožňujú získať karteziánske súradnice (x, y, z) bodu M za predpokladu, že sú známe sférické súradnice toho istého bodu (r, 9, φ):

x = r Sen (9) Cos (φ)

y = r Sen (9) Sen (φ)

z = r Cos (9)

Rovnakým spôsobom je užitočné nájsť vzťahy, ktoré prechádzajú z karteziánskych súradníc (x, y, z) daného bodu na sférické súradnice daného bodu:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorová základňa v sférických súradniciach

Z sférických súradníc je definovaná ortonormálna báza základných vektorov, ktoré sú označené ako Ur , Uθ , Uφ . Na obrázku 1 sú znázornené tieto tri jednotkové vektory, ktoré majú nasledujúce charakteristiky:

- Ur je jednotkový vektor dotýkajúci sa radiálnej línie θ = ctte a φ = ctte;

- Uθ je jednotkový vektor tečný k oblúku φ = ctte a r = ctte;

- Uφ je jednotkový vektor tečný k oblúku r = ctte a θ = ctte.

Čiary a objemy v guľových súradniciach

Vektor polohy bodu v priestore v sférických súradniciach je napísaný takto:

r = r Ur

Infinitezimálna variácia alebo posun bodu v trojrozmernom priestore v týchto súradniciach je vyjadrená nasledujúcim vektorovým vzťahom:

d r = dr Ur + rd 9 U + r Sen (9) d φ Uφ

Nakoniec sa píše infinitesimálny objem dV v sférických súradniciach:

dV = r ^ 2 Sen (9) dr dθd

Tieto vzťahy sú veľmi užitočné na výpočet integrálov liniek a objemov vo fyzických situáciách, ktoré majú sférickú symetriu.

Vzťah so zemepisnými súradnicami

Geografickými súradnicami sa rozumejú tie, ktoré slúžia na lokalizáciu miest na zemskom povrchu. Tento systém používa súradnice zemepisnej šírky a dĺžky na nájdenie polohy na povrchu Zeme.

V geografickom súradnicovom systéme sa predpokladá, že zemský povrch je sférický s polomerom Rt, aj keď je známe, že sa na póloch splošťuje, a uvažuje sa o množine imaginárnych čiar nazývaných rovnobežky a poludníky.

Obrázok 2. Zemepisná šírka α a zemepisná šírka β pozorovateľa na zemskom povrchu.

Zemepisná šírka β je uhol tvorený polomerom, ktorý začína od stredu Zeme po bod, ktorý chcete umiestniť. Zmeria sa z rovníkovej roviny, ako je znázornené na obrázku 2. Na druhej strane, zemepisná dĺžka a je uhol, ktorý meridián bodu, ktorý sa nachádza, tvorí vzhľadom na nulový poludník (známy ako greenwichský poludník).

Zemepisná šírka môže byť severná alebo južná zemepisná šírka v závislosti od toho, či sa miesto, ktoré hľadáte, nachádza na severnej pologuli alebo na južnej pologuli. Zemepisná dĺžka môže byť rovnako západná alebo východná v závislosti od toho, či je poloha západne alebo východne od nulového poludníka.

Vzorce, ktoré sa majú zmeniť z geografického na sférický

Na získanie týchto vzorcov je potrebné vytvoriť súradnicový systém. Rovina XY je vybraná tak, aby sa časovo zhodovala s rovníkovou rovinou, pričom pozitívna poloosová os X je os, ktorá prechádza zo stredu Zeme a prechádza nulovým poludníkom. Os Y naopak prechádza poludníkom 90 ° E. Zemský povrch má polomer Rt.

S týmto súradnicovým systémom sú transformácie z geografického na sférický vzhľad takto:

aEβN → (Rt, 9 = 90º-β, φ = α)

aOβN → (Rt, 9 = 90º-β, φ = 360º-α)

aEβS → (Rt, 9 = 90 ° + β, φ = α)

aOβS → (Rt, 9 = 90 ° + β, φ = 360 °-α)

Príklady

Príklad 1

Zemepisné súradnice Palma de Mallorca (Španielsko) sú:

Východná zemepisná dĺžka 38,847 ° a severná šírka 39,570 °. Na určenie sférických súradníc zodpovedajúcich Palma de Mallorca sa použije prvý zo vzorcov uvedených v predchádzajúcej časti:

38 847 ° E 39 570 ° N → (r = 6371 km, 9 = 90 ° - 39 570 °, φ = 38 847 °)

Sférické súradnice sú teda:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43 °, φ = 38,85 °)

V predchádzajúcej odpovedi sa r rátalo s priemerným polomerom Zeme.

Príklad 2

Vzhľadom na to, že ostrovy Malvinas (Falklandy) majú geografické súradnice 59 ° 51.75 ° S, určte zodpovedajúce polárne súradnice. Nezabudnite, že os X prechádza zo stredu Zeme k poludníku 0 ° a rovníkovej rovine; os Y tiež v rovníkovej rovine a prechádzajúca cez 90 ° západný poludník; nakoniec os Z na osi Zeme v smere juh - sever.

Na nájdenie zodpovedajúcich sférických súradníc používame vzorce uvedené v predchádzajúcej časti:

59 ° O 51,75 ° S → (r = 6371 km, 9 = 90 ° + 51,75 °, φ = 360 ° - 59 °), čo je

Malvinas: (r = 6371 km, 9 = 14,75 °, φ = 301 °)

cvičenie

Cvičenie 1

Nájdite karteziánske súradnice Palma de Mallorca v referenčnom systéme karteziánskeho systému XYZ znázornenom na obrázku 2.

Riešenie: Predtým, v príklade 1, boli sférické súradnice získané z geografických súradníc Palma de Mallorca. Takže vzorce uvedené vyššie môžu byť použité na prechod z sférického do karteziánskeho:

x = 6371 km Sen (50,43 °) Cos (38,85 °)

y = 6371 km Sen (50,43 °) Sen (38,85 °)

z = 6371 km Cos (50,43 °)

Vykonávame zodpovedajúce výpočty:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Cvičenie 2

Nájdite karteziánske súradnice Falklandských ostrovov v referenčnom systéme pre karteziánsky trh XYZ zobrazenom na obrázku 2.

Riešenie: Predtým, v príklade 2, boli sférické súradnice získané z geografických súradníc Malvinasových ostrovov. Takže vzorce uvedené vyššie môžu byť použité na prechod z sférického do karteziánskeho:

x = 6371 km Sen (14,75 °) Cos (301 °)

y = 6371 km Sen (141.75 °) Sen (301 °)

z = 6371 km Cos (14,75 °)

Vykonaním zodpovedajúcich výpočtov získame:

Falklandské ostrovy: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Referencie

1. Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metódy pre fyzikov. Komplexný sprievodca na cestu. 7. vydanie. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Výpočet cc. Riešené problémy valcových a sférických súradníc. Získané z: výpočt.cc
3. Astronomický workshop. Zemepisná šírka a dĺžka. Obnovené z: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sférické súradnice." Z webu MathWorld-A Wolfram. Obnovené z: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sférický súradnicový systém. Obnovené z: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorové polia vo valcovitých a sférických súradniciach. Obnovené z: en.wikipedia.com