VALCOVÉ SÚRADNICE: SYSTÉM, ZMENY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Tieto valcové súradnice sa používajú na umiestnenie bodov v trojrozmernom priestore a skladá sa z radiálne súradnicu ρ, φ azimutálnej koordinuje a súradnice z výšky.

Bod P umiestnený vo vesmíre je premietaný kolmo na rovinu XY, čo vedie k bodu P 'v tejto rovine. Vzdialenosť od začiatku k bodu P 'definuje súradnicu ρ, zatiaľ čo uhol medzi osou X a lúčom OP' definuje súradnicu φ. Konečne je súradnica z ortogonálna projekcia bodu P na osi Z. (pozri obrázok 1).

Obrázok 1. Bod P valcových súradníc (ρ, φ, z). (Vlastné spracovanie)

Radiálna súradnica ρ je vždy kladná, azimutálna súradnica φ sa pohybuje od nulových radiánov do dvoch pí radiánov, zatiaľ čo súradnica z môže mať akúkoľvek skutočnú hodnotu:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Zmena súradníc

Je relatívne ľahké získať karteziánske súradnice (x, y, z) bodu P z jeho valcovitých súradníc (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Je však tiež možné získať polárne súradnice (ρ, φ, z) vychádzajúc zo znalosti karteziánskych súradníc (x, y, z) bodu P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektorová základňa vo valcovitých súradniciach

Je definovaná báza vektorov valcových jednotiek Uρ , Uφ , Uz .

Vektor Uρ sa dotýka priamky φ = ctte a z = ctte (smerujúcej radiálne smerom von), vektor Uφ sa dotýka priamky ρ = ctte a z = ctte a nakoniec má Uz rovnaký smer osi Z.

Obrázok 2. Valcová súradnicová základňa. (wikimedia commons)

V základni valcovej jednotky je polohový vektor r bodu P písaný vektorovo takto:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Na druhej strane je nekonečné posunutie d r z bodu P vyjadrené takto:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Podobne infinitesimálny prvok objemu dV vo valcových súradniciach je:

dV = ρ dρ dφ dz

Príklady

Existuje nespočet príkladov použitia a použitia valcovitých súradníc. Napríklad v kartografii sa používa valcovitá projekcia presne na základe týchto súradníc. Existuje niekoľko príkladov:

Príklad 1

Valcové súradnice majú technologické uplatnenie. Ako príklad môžeme uviesť systém umiestnenia údajov CHS (Cylinder-Head-Sector) na pevnom disku, ktorý v skutočnosti pozostáva z niekoľkých diskov:

- Valec alebo koľajnica zodpovedá súradnici ρ.

- Sektor zodpovedá polohe φ disku, ktorý sa otáča vysokou uhlovou rýchlosťou.

- Hlava zodpovedá polohe z čítacej hlavy na príslušnom disku.

Každý bajt informácií má presnú adresu vo valcovitých súradniciach (C, S, H).

Obrázok 2. Umiestnenie informácií vo valcovitých súradniciach na pevnom disku. (wikimedia commons)

Príklad 2

Stavebné žeriavy určujú polohu bremena vo valcovitých súradniciach. Horizontálna poloha je definovaná vzdialenosťou od osi alebo šípky žeriavu ρ a jej uhlovou polohou φ vzhľadom na niektorú referenčnú os. Vertikálna poloha bremena je určená súradnicou z výšky.

Obrázok 3. Poloha bremena na stavebnom žeriave sa dá ľahko vyjadriť vo valcovitých súradniciach. (obrázok pixabay - anotácie R. Pérez)

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Existujú body P1 s valcovými súradnicami (3, 120 °, -4) a bod P2 s valcovými súradnicami (2, 90 °, 5). Nájdite euklidovskú vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi.

Riešenie: Najprv prejdeme k karteziánskym súradniciam každého bodu podľa vzorca, ktorý bol uvedený vyššie.

P1 = (3 * cos 120 °, 3 * sin 120 °, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Euklidovská vzdialenosť medzi P1 a P2 je:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Cvičenie 2

Bod P má karteziánske súradnice (-3, 4, 2). Nájdite zodpovedajúce valcovité súradnice.

Riešenie: Postupujeme pri hľadaní valcovitých súradníc pomocou vyššie uvedených vzťahov:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arktán (y / x) = arktán (4 / (- 3)) = -53,13 ° + 180 ° = 126,87 °

z = 2

Malo by sa pamätať na to, že arctangentná funkcia je viachodnotová so 180 ° periodicitou. Uhol φ musí tiež patriť do druhého kvadrantu, pretože súradnice x a y bodu P sú v tomto kvadrante. To je dôvod, prečo bol k výsledku pridaný º.

Cvičenie 3

Vyjadrte vo valcových súradniciach a v karteziánskych súradniciach povrch valca s polomerom 2 a ktorého os sa zhoduje s osou Z.

Riešenie: Rozumie sa, že valec má nekonečné predĺženie v smere z, takže rovnica uvedenej plochy vo valcových súradniciach je:

ρ = 2

Na získanie karteziánskej rovnice valcovej plochy sa použije štvorec oboch členov predchádzajúcej rovnice:

p ² = 4

Násobíme oboch členov predchádzajúcej rovnosti 1 a použijeme základnú trigonometrickú identitu (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(Sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Závorka je vyvinutá na získanie:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Pamätáme si, že prvé zátvorky (ρ sin (φ)) súradnica y bodu v polárnych súradniciach, zatiaľ čo zátvorky (ρ cos (φ)) predstavujú súradnicu x, takže rovnicu valca máme v súradniciach karteziánske súradnice:

y ² + x ² = 2 ²

Vyššie uvedená rovnica by sa nemala zamieňať s rovnicou obvodu v rovine XY, pretože v tomto prípade by to vyzeralo takto: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Cvičenie 4

Valec s polomerom R = 1 ma výškou H = 1 m má svoju hmotu rozmiestnenú radiálne podľa nasledujúcej rovnice D (ρ) = C (1 - ρ / R), kde C je konštanta C = 1 kg / m ³ , Zistite celkovú hmotnosť valca v kilogramoch.

Riešenie: Prvou vecou je uvedomiť si, že funkcia D (ρ) predstavuje objemovú hmotnostnú hustotu a že hmotnostná hustota je distribuovaná vo valcových škrupinách so znižujúcou sa hustotou od stredu k periférii. Infinitesimálny prvok objemu podľa symetrie problému je:

dV = ρdρ 2π H

Infinitesimálna hmotnosť valcovitého plášťa bude teda:

dM = D (p) dV

Preto sa celková hmotnosť valca vyjadrí pomocou tohto definitívneho integrálu:

M = ∫ _alebo ^R ( ^R) (V) dV = ∫ _alebo ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _alebo ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Riešenie uvedeného integrálu nie je ťažké získať, výsledkom ktorého je:

∫ _alebo ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Zahrnutím tohto výsledku do vyjadrenia hmotnosti valca získame:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

Π π 1m * 1 kg / m ³ * 1 ^m2 = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referencie

1. Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metódy pre fyzikov. Komplexný sprievodca na cestu. 7. vydanie. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Výpočet cc. Riešené problémy valcových a sférických súradníc. Získané z: výpočt.cc
3. Weisstein, Eric W. "Valcové súradnice." Z MathWorld - Wolfram Web. Obnovené z: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Valcový súradnicový systém. Obnovené z: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektorové polia vo valcovitých a sférických súradniciach. Obnovené z: en.wikipedia.com