Konečnou množinou sa rozumie akákoľvek množina s obmedzeným alebo spočítateľným počtom prvkov. Príkladmi konečných súprav sú guľôčky, ktoré sú obsiahnuté v sáčku, súbor domov v susedstve alebo súprava P tvorená prvými dvadsiatimi (20) prirodzenými číslami:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Súbor hviezd vo vesmíre je určite obrovský, nie je však isté, či je konečný alebo nekonečný. Súbor planét v slnečnej sústave je však obmedzený.
Obrázok 1. Súbor mnohouholníkov je konečný a tiež podmnožinou bežných. (Wikimedia Commons)
Počet prvkov v konečnej množine sa nazýva jej mohutnosť a pre množinu P sa označuje nasledovne: Karta ( P ) alebo # P. Prázdna množina má nulovú mohutnosť a považuje sa za konečnú množinu.
vlastnosti
Medzi vlastnosti konečných množín patria:
1 - Spojenie konečných súborov vedie k vytvoreniu nového konečného súboru.
2 - Ak sa dve konečné sady pretínajú, výsledkom bude nová konečná množina.
3 - Podmnožina konečnej množiny je konečná a jej mohutnosť je menšia alebo rovnaká ako jej pôvodná množina.
4- Prázdna súprava je konečná súprava.
Príklady
Existuje mnoho príkladov konečných množín. Niektoré príklady zahŕňajú:
Množina M mesiacov roka, ktorú je možné v rozšírenej podobe písať takto:
M = {január, február, marec, apríl, máj, jún, júl, august, september, október, november, december}, kardinálnosť M je 12.
Sada S dní v týždni: S = {pondelok, utorok, streda, štvrtok, piatok, sobota, nedeľa}. Kardinalita S je 7.
Sada Ñ písmen španielskej abecedy je konečná množina, táto množina sa píše takto:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} a jej mohutnosť je 27.
Súbor V samohlások v španielčine je podmnožinou množiny Ñ:
V ⊂ Ñ je preto konečná množina.
Konečná množina V v rozsiahlej podobe je napísaná takto: V = {a, e, i, o, u} a jej mohutnosť je 5.
Množiny sa dajú vyjadriť pochopením. Príkladom je množina F pozostávajúca z písmen slova „konečný“:
F = {x / x je písmeno slova „konečný“}
Uvedená množina vyjadrená v rozsiahlej podobe bude:
F = {f, i, n, t, o}, ktorého mohutnosť je 5, a preto je konečná množina.
Viac príkladov
Farby dúhy sú ďalším príkladom konečnej sady, sada C týchto farieb je:
C = {červená, oranžová, žltá, zelená, azúrová, modrá, fialová} a jej mohutnosť je 7.
Súbor fáz F mesiaca je ďalším príkladom konečnej sady:
F = {Nový mesiac, prvý štvrťrok, spln, posledný štvrťrok} táto sada má kardinál 4.
Obrázok 2. Planéty slnečnej sústavy tvoria konečnú súpravu. (Pixabay)
Ďalšou konečnou sadou je sústava tvorená planétami slnečnej sústavy:
P = {Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter, Saturn, Urán, Neptún, Pluto} kardinality 9.
Riešené cvičenia
Cvičenie 1
Nasleduje sada A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Vyjadrite to slovami a napíšte ho rozšírením, uveďte jeho kardinálnosť a povedzte, či je alebo nie je konečný.
Riešenie: Sada A je množina reálnych čísel x taká, že x je výsledkom výsledku 27.
Rovnica x ^ 3 = 27 má tri riešenia: sú x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) a x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Z týchto troch riešení je skutočné iba x1, zatiaľ čo ostatné dve sú komplexné čísla.
Pretože definícia množiny A hovorí, že x patrí do reálnych čísel, potom riešenia komplexných čísel nie sú súčasťou množiny A.
Súbor A vyjadrený značne je:
A = {3}, čo je konečná skupina kardinálií 1.
Cvičenie 2
Napíšte v symbolickej podobe (pochopením) av rozsiahlej podobe množinu B reálnych čísel, ktorá je väčšia ako 0 (nula) a menšia alebo rovná 0 (nula). Uveďte jej mohutnosť a to, či je alebo nie je konečný.
Riešenie: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Sada B je prázdna, pretože skutočné číslo x nemôže byť súčasne väčšie a menšie ako nula, rovnako ako nemôže byť 0 a tiež menšie ako 0.
B = {} a jej mohutnosť je 0. Prázdna súprava je konečná súprava.
Cvičenie 3
Je uvedená množina S riešení určitej rovnice. Súbor S podľa porozumenia je napísaný takto:
S = {x∊R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Napíšte uvedenú množinu v rozsiahlej podobe, uveďte jej mohutnosť a uveďte, či ide o konečnú množinu.
Riešenie: Najprv sa pri analýze výrazu, ktorý opisuje množinu S, získa, že ide o množinu skutočných hodnôt x, ktoré sú riešeniami rovnice:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Riešenie tejto rovnice je x = 3, čo je skutočné číslo, a preto patrí do S. Ale existuje viac riešení, ktoré možno získať hľadaním riešení kvadratickej rovnice:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Vyššie uvedený výraz môže byť faktorizovaný takto:
(x - 4) (x - 5) = 0
Čo nás vedie k ďalším dvom riešeniam pôvodnej rovnice (*), ktoré sú x = 4 a x = 5. V krátkosti má rovnica (*) ako riešenia 3, 4 a 5.
Súbor S vyjadrený v rozsiahlej podobe vyzerá takto:
S = {3, 4, 5}, ktorá má mohutnosť 3, a preto je konečná množina.
Cvičenie 4
Existujú dve sady A = {1, 5, 7, 9, 11} a B = {x ∊ N / x je dokonca ^ x <10}.
Výslovne napíšte množinu B a nájdite spojenie so sadou A. Nájdite aj priesečník týchto dvoch sád a uzavrite.
Riešenie: množina B sa skladá z prirodzených čísel tak, že sú párne a sú tiež nižšie ako hodnota 10, preto v rozsiahlej množine B sa píše takto:
B = {2, 4, 6, 8}
Spojenie súpravy A so súpravou B je:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
a priesečník súpravy A so súpravou B je napísaný takto:
A ⋂ B = {} = Ø je prázdna súprava.
Je potrebné poznamenať, že spojenie a odpočúvanie týchto dvoch konečných súborov vedie k novým súborom, ktoré sú zase tiež obmedzené.
Referencie
- Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÁ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pre riadenie a ekonomiku. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
- Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
- Mathematics 10 (2018). "Príklady konečných množín". Obnovené z: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak ľahké. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.
- Wikipedia. Konečná sada. Obnovené z: es.wikipedia.com