- Kritériá zhody
- Zhoda, identita a podobnosť
- Príklady kongruencie
- - Zhoda uhlov
- Príklad 1
- Príklad 2
- Príklad 3
- - Zhoda trojuholníkov
- Riešené cvičenia
- - Cvičenie 1
- Riešenie
- - Cvičenie 2
- Riešenie
- Krok 1
- Krok 2
- Krok 3
- Krok 4
- Krok 5
- Krok 6
- Krok 7
- Krok 8
- Referencie
Zhoda v geometrii hovorí, že v prípade dvoch rovinách postavy majú na rovnaký tvar a rozmery, to sú zhodné. Napríklad dva segmenty sa zhodujú, keď sú ich dĺžky rovnaké. Rovnaké miery majú aj zhodné uhly, aj keď nie sú v rovine orientované rovnakým spôsobom.
Termín „kongruencia“ pochádza z latinského kongruentia, ktorého významom je korešpondencia. Dve zhodné čísla teda presne korešpondujú.

Obrázok 1. Štvorholníky ABCD a A'B'C'D 'na obrázku sú zhodné: ich strany majú rovnaké rozmery ako ich vnútorné uhly. Zdroj: F. Zapata.
Napríklad, ak prekrývame dva kvadrilaterály v obraze, zistíme, že sú zhodné, pretože usporiadanie ich strán je totožné a zmerajú to isté.
Umiestnením štvorcov ABCD a A'B'C'D 'na seba sa čísla presne zhodujú. Zhodné strany sa nazývajú homologické alebo zodpovedajúce strany a symbol ≡ sa používa na vyjadrenie zhody. Môžeme teda povedať, že ABCD „A'B'C'D“.
Kritériá zhody
Nasledujúce vlastnosti sú spoločné pre zhodné polygóny:
- Rovnaký tvar a veľkosť.
-Identické merania ich uhlov.
- Rovnaké opatrenie na každej jeho strane.
V prípade, že dva príslušné polygóny sú pravidelné, to znamená, že všetky strany a vnútorné uhly merajú to isté, zhoda je zaručená, ak je splnená niektorá z týchto podmienok:
- Strany sú zhodné
- Apotémy majú rovnaké opatrenie
- Polomer každého mnohouholníka meria to isté
Apothem pravidelného mnohouholníka je vzdialenosť medzi stredom a jednou zo strán, zatiaľ čo polomer zodpovedá vzdialenosti medzi stredom a vrcholom alebo rohom figúry.
Kritériá zhody sa často používajú, pretože toľko častí a kusov všetkého druhu je hromadne vyrábaných a musia mať rovnaký tvar a rozmery. Týmto spôsobom sa dajú v prípade potreby ľahko vymeniť, napríklad matice, skrutky, plachty alebo dlažobné kamene na zemi na ulici.

Obrázok 2. Dlažby ulice sú zhodnými obrázkami, pretože ich tvar a rozmery sú úplne rovnaké, aj keď ich orientácia na podlahe sa môže zmeniť. Zdroj: Pixabay.
Zhoda, identita a podobnosť
Existujú geometrické koncepty súvisiace s zhodou, napríklad identické obrázky a podobné obrázky, ktoré nevyhnutne neznamenajú, že čísla sú zhodné.
Všimnite si, že zhodné obrázky sú identické, avšak štvoruholníky na obrázku 1 by sa mohli v rovine orientovať rôznymi spôsobmi a stále zostať zhodné, pretože rozdielna orientácia nemení veľkosť ich strán alebo uhlov. V takom prípade by už viac neboli totožné.
Druhým konceptom je podobnosť číslic: dve rovinné postavy sú podobné, ak majú rovnaký tvar a ich vnútorné uhly sú rovnaké, hoci veľkosť čísiel sa môže líšiť. Ak je to tak, čísla nie sú zhodné.
Príklady kongruencie
- Zhoda uhlov
Ako sme uviedli na začiatku, rovnaké uhly majú rovnakú mieru. Existuje niekoľko spôsobov, ako získať zhodné uhly:
Príklad 1
Dva riadky s bodom spoločným definujú dva uhly nazývané opačné uhly kvôli vrcholu. Tieto uhly majú rovnaké rozmery, preto sú zhodné.

Obrázok 3. Opačné uhly vrcholu. Zdroj: Wikimedia Commons.
Príklad 2
Existujú dve rovnobežné čiary plus čiara t, ktorá pretína obe. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, keď táto čiara pretína rovnobežky, vytvára zhodné uhly, jeden na každej línii na pravej strane a ďalší dva na ľavej strane. Obrázok ukazuje α a α 1 vpravo od čiary t, ktoré sú zhodné.

Obrázok 4. Uhly znázornené na obrázku sú zhodné. Zdroj: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Príklad 3
V rovnobežníku sú štyri vnútorné uhly, ktoré sa zhodujú dva až dva. Sú to medzi protilahlými vrcholmi, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku, v ktorých sú dva zelené uhly zhodné, ako aj dva uhly červené.

Obrázok 5. Vnútorné uhly rovnobežníka sú zhodné dva po dvoch. Zdroj: Wikimedia Commons.
- Zhoda trojuholníkov
Dva trojuholníky rovnakého tvaru a veľkosti sa zhodujú. Na overenie tejto skutočnosti existujú tri kritériá, ktoré možno skúmať pri hľadaní zhody:
- kritérium LLL : tri strany trojuholníkov majú rovnaké opatrenia, a preto L 1 = L ' 1 ; L 2 = L ' 2 a L 3 = L' 3.

Obrázok 6. Príklad zhodných trojuholníkov, ktorých strany merajú to isté. Zdroj: F. Zapata.
- Kritériá ALA a AAL : trojuholníky majú dva rovnaké vnútorné uhly a strana medzi týmito uhlami má rovnaké rozmery.

Obrázok 7. Kritériá ALA a AAL pre kongruenciu trojuholníka. Zdroj: Wikimedia Commons.
- Kritérium LAL : dve strany sú zhodné (zodpovedajúce) a medzi nimi je rovnaký uhol.

Obrázok 8. Kritérium LAL pre zhodu trojuholníkov. Zdroj: Wikimedia Commons.
Riešené cvičenia
- Cvičenie 1
Na nasledujúcom obrázku sú zobrazené dva trojuholníky: AABC a AECF. Je známe, že AC = EF, AB = 6 a CF = 10. Ďalej, uhly ∡BAC a ∡FEC sú zhodné a uhly ∡ACB a ∡FCB sú tiež zhodné.

Obrázok 9. Trojuholníky pre spracovaný príklad 1. Zdroj: F. Zapata.
Dĺžka segmentu BE sa potom rovná:
i) 5
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 2
(v) 6
Riešenie
Pretože dva trojuholníky majú stranu rovnakej dĺžky AC = EF medzi rovnakými uhlami ∡BAC = ∡CEF a ∡BCA = ∡CFE, dá sa povedať, že tieto dva trojuholníky sú zhodné podľa kritéria ALA.
To znamená ΔBAC ≡ ΔCEF, takže musíme:
BA = CE = AB = 6
BC = CF = 10
AC = EF
Vypočítaný segment je BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.
Správna odpoveď je teda (iii).
- Cvičenie 2
Na obrázku sú tri trojuholníky. Je tiež známe, že oba uvedené uhly merajú každý o 80 ° a že segmenty AB = PD a AP = CD. Nájdite hodnotu uhla X zobrazeného na obrázku.

Obrázok 10. Trojuholníky pre rozlíšený príklad 2. Zdroj: F. Zapata.
Riešenie
Musíte použiť vlastnosti trojuholníkov, ktoré sú podrobne uvedené krok za krokom.
Krok 1
Od kritéria zhodnosti trojuholníka LAL možno konštatovať, že trojuholníky BAP a PDC sú zhodné:
ΔBAP ≡ DCPDC
Krok 2
Vyššie uvedené vedie k potvrdeniu, že BP = PC, preto trojuholník ΔBPC je rovnoramenný a ∡PCB = ∡PBC = X.
Krok 3
Ak nazveme uhol BPC γ, znamená to, že:
2x + y = 180 °
Krok 4
A ak nazývame uhly APB a DCP β a α uhly ABP a DPC, máme:
a + β + γ = 180 ° (pretože APB je rovinný uhol).
Krok 5
Ďalej, a + β + 80 ° = 180 ° súčtom vnútorných uhlov trojuholníka APB.
Krok 6
Kombináciou všetkých týchto výrazov máme:
a + p = 100 °
Krok 7
A preto:
y = 80 °.
Krok 8
Nakoniec z toho vyplýva, že:
2X + 80 ° = 180 °
S X = 50 °.
Referencie
- Baldor, A. 1973. Rovinná a priestorová geometria. Stredoamerický kultúrny.
- Nadácia CK-12. Kongruentné polygóny. Získané z: ck 12.org.
- Užite si matematiku. Definície: Polomer (mnohouholník). Obnovené z: enjoylasmatematicas.com.
- Math Open Reference. Testovanie zhody polygónov. Obnovené z: mathopenref.com.
- Wikipedia. Zhoda (geometria). Obnovené z: es.wikipedia.org.
- Zapata, F. Trojuholníky, história, prvky, klasifikácia, vlastnosti. Získané z: lifeder.com.
