ZHODA: ZHODNÉ ČÍSLA, KRITÉRIÁ, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Zhoda v geometrii hovorí, že v prípade dvoch rovinách postavy majú na rovnaký tvar a rozmery, to sú zhodné. Napríklad dva segmenty sa zhodujú, keď sú ich dĺžky rovnaké. Rovnaké miery majú aj zhodné uhly, aj keď nie sú v rovine orientované rovnakým spôsobom.

Termín „kongruencia“ pochádza z latinského kongruentia, ktorého významom je korešpondencia. Dve zhodné čísla teda presne korešpondujú.

Obrázok 1. Štvorholníky ABCD a A'B'C'D 'na obrázku sú zhodné: ich strany majú rovnaké rozmery ako ich vnútorné uhly. Zdroj: F. Zapata.

Napríklad, ak prekrývame dva kvadrilaterály v obraze, zistíme, že sú zhodné, pretože usporiadanie ich strán je totožné a zmerajú to isté.

Umiestnením štvorcov ABCD a A'B'C'D 'na seba sa čísla presne zhodujú. Zhodné strany sa nazývajú homologické alebo zodpovedajúce strany a symbol ≡ sa používa na vyjadrenie zhody. Môžeme teda povedať, že ABCD „A'B'C'D“.

Kritériá zhody

Nasledujúce vlastnosti sú spoločné pre zhodné polygóny:

- Rovnaký tvar a veľkosť.

-Identické merania ich uhlov.

- Rovnaké opatrenie na každej jeho strane.

V prípade, že dva príslušné polygóny sú pravidelné, to znamená, že všetky strany a vnútorné uhly merajú to isté, zhoda je zaručená, ak je splnená niektorá z týchto podmienok:

- Strany sú zhodné

- Apotémy majú rovnaké opatrenie

- Polomer každého mnohouholníka meria to isté

Apothem pravidelného mnohouholníka je vzdialenosť medzi stredom a jednou zo strán, zatiaľ čo polomer zodpovedá vzdialenosti medzi stredom a vrcholom alebo rohom figúry.

Kritériá zhody sa často používajú, pretože toľko častí a kusov všetkého druhu je hromadne vyrábaných a musia mať rovnaký tvar a rozmery. Týmto spôsobom sa dajú v prípade potreby ľahko vymeniť, napríklad matice, skrutky, plachty alebo dlažobné kamene na zemi na ulici.

Obrázok 2. Dlažby ulice sú zhodnými obrázkami, pretože ich tvar a rozmery sú úplne rovnaké, aj keď ich orientácia na podlahe sa môže zmeniť. Zdroj: Pixabay.

Zhoda, identita a podobnosť

Existujú geometrické koncepty súvisiace s zhodou, napríklad identické obrázky a podobné obrázky, ktoré nevyhnutne neznamenajú, že čísla sú zhodné.

Všimnite si, že zhodné obrázky sú identické, avšak štvoruholníky na obrázku 1 by sa mohli v rovine orientovať rôznymi spôsobmi a stále zostať zhodné, pretože rozdielna orientácia nemení veľkosť ich strán alebo uhlov. V takom prípade by už viac neboli totožné.

Druhým konceptom je podobnosť číslic: dve rovinné postavy sú podobné, ak majú rovnaký tvar a ich vnútorné uhly sú rovnaké, hoci veľkosť čísiel sa môže líšiť. Ak je to tak, čísla nie sú zhodné.

Príklady kongruencie

- Zhoda uhlov

Ako sme uviedli na začiatku, rovnaké uhly majú rovnakú mieru. Existuje niekoľko spôsobov, ako získať zhodné uhly:

Príklad 1

Dva riadky s bodom spoločným definujú dva uhly nazývané opačné uhly kvôli vrcholu. Tieto uhly majú rovnaké rozmery, preto sú zhodné.

Obrázok 3. Opačné uhly vrcholu. Zdroj: Wikimedia Commons.

Príklad 2

Existujú dve rovnobežné čiary plus čiara t, ktorá pretína obe. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, keď táto čiara pretína rovnobežky, vytvára zhodné uhly, jeden na každej línii na pravej strane a ďalší dva na ľavej strane. Obrázok ukazuje α a α ₁ vpravo od čiary t, ktoré sú zhodné.

Obrázok 4. Uhly znázornené na obrázku sú zhodné. Zdroj: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Príklad 3

V rovnobežníku sú štyri vnútorné uhly, ktoré sa zhodujú dva až dva. Sú to medzi protilahlými vrcholmi, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku, v ktorých sú dva zelené uhly zhodné, ako aj dva uhly červené.

Obrázok 5. Vnútorné uhly rovnobežníka sú zhodné dva po dvoch. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Zhoda trojuholníkov

Dva trojuholníky rovnakého tvaru a veľkosti sa zhodujú. Na overenie tejto skutočnosti existujú tri kritériá, ktoré možno skúmať pri hľadaní zhody:

- kritérium LLL : tri strany trojuholníkov majú rovnaké opatrenia, a preto L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ a L ₃ = L' _3.

Obrázok 6. Príklad zhodných trojuholníkov, ktorých strany merajú to isté. Zdroj: F. Zapata.

- Kritériá ALA a AAL : trojuholníky majú dva rovnaké vnútorné uhly a strana medzi týmito uhlami má rovnaké rozmery.

Obrázok 7. Kritériá ALA a AAL pre kongruenciu trojuholníka. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Kritérium LAL : dve strany sú zhodné (zodpovedajúce) a medzi nimi je rovnaký uhol.

Obrázok 8. Kritérium LAL pre zhodu trojuholníkov. Zdroj: Wikimedia Commons.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Na nasledujúcom obrázku sú zobrazené dva trojuholníky: AABC a AECF. Je známe, že AC = EF, AB = 6 a CF = 10. Ďalej, uhly ∡BAC a ∡FEC sú zhodné a uhly ∡ACB a ∡FCB sú tiež zhodné.

Obrázok 9. Trojuholníky pre spracovaný príklad 1. Zdroj: F. Zapata.

Dĺžka segmentu BE sa potom rovná:

i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Riešenie

Pretože dva trojuholníky majú stranu rovnakej dĺžky AC = EF medzi rovnakými uhlami ∡BAC = ∡CEF a ∡BCA = ∡CFE, dá sa povedať, že tieto dva trojuholníky sú zhodné podľa kritéria ALA.

To znamená ΔBAC ≡ ΔCEF, takže musíme:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Vypočítaný segment je BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Správna odpoveď je teda (iii).

- Cvičenie 2

Na obrázku sú tri trojuholníky. Je tiež známe, že oba uvedené uhly merajú každý o 80 ° a že segmenty AB = PD a AP = CD. Nájdite hodnotu uhla X zobrazeného na obrázku.

Obrázok 10. Trojuholníky pre rozlíšený príklad 2. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Musíte použiť vlastnosti trojuholníkov, ktoré sú podrobne uvedené krok za krokom.

Krok 1

Od kritéria zhodnosti trojuholníka LAL možno konštatovať, že trojuholníky BAP a PDC sú zhodné:

ΔBAP ≡ DCPDC

Krok 2

Vyššie uvedené vedie k potvrdeniu, že BP = PC, preto trojuholník ΔBPC je rovnoramenný a ∡PCB = ∡PBC = X.

Krok 3

Ak nazveme uhol BPC γ, znamená to, že:

2x + y = 180 °

Krok 4

A ak nazývame uhly APB a DCP β a α uhly ABP a DPC, máme:

a + β + γ = 180 ° (pretože APB je rovinný uhol).

Krok 5

Ďalej, a + β + 80 ° = 180 ° súčtom vnútorných uhlov trojuholníka APB.

Krok 6

Kombináciou všetkých týchto výrazov máme:

a + p = 100 °

Krok 7

A preto:

y = 80 °.

Krok 8

Nakoniec z toho vyplýva, že:

2X + 80 ° = 180 °

S X = 50 °.

Referencie

1. Baldor, A. 1973. Rovinná a priestorová geometria. Stredoamerický kultúrny.
2. Nadácia CK-12. Kongruentné polygóny. Získané z: ck 12.org.
3. Užite si matematiku. Definície: Polomer (mnohouholník). Obnovené z: enjoylasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Testovanie zhody polygónov. Obnovené z: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Zhoda (geometria). Obnovené z: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trojuholníky, história, prvky, klasifikácia, vlastnosti. Získané z: lifeder.com.