OBDĹŽNIKOVÉ KOMPONENTY VEKTORA (S CVIČENIAMI) - MATEMATIKA - 2026

Tieto pravouhlé zložky vektora sú údaje, ktoré tvoria tento vektor. Na ich určenie je potrebné mať súradnicový systém, ktorým je spravidla karteziánska rovina.

Akonáhle budete mať vektor v súradnicovom systéme, môžete vypočítať jeho komponenty. Sú to 2, horizontálny komponent (rovnobežný s osou X), nazývaný „komponent na osi X“, a vertikálny komponent (rovnobežný s osou Y), nazývaný „komponent na osi Y“.

Grafické znázornenie pravouhlých komponentov vektora

Na určenie komponentov je potrebné poznať určité údaje o vektore, ako je jeho veľkosť a uhol, ktorý tvorí s osou X.

Ako určiť pravouhlé komponenty vektora?

Na určenie týchto komponentov musia byť známe určité vzťahy medzi pravouhlými trojuholníkmi a trigonometrickými funkciami.

Na nasledujúcom obrázku vidíte tento vzťah.

Vzťahy medzi pravouhlými trojuholníkmi a trigonometrickými funkciami

Sínusový uhol sa rovná kvocientu medzi mierou nohy oproti uhlu a mierkou prepony.

Na druhej strane je kosínus uhla rovný kvocientu medzi mierou nohy priľahlej k uhlu a mierkou prepony.

Tangens uhla sa rovná kvocientu medzi mierou opačného ramena a mierkou susedného ramena.

Vo všetkých týchto vzťahoch je potrebné vytvoriť zodpovedajúci pravouhlý trojuholník.

Existujú aj iné metódy?

Áno. V závislosti od poskytnutých údajov sa spôsob výpočtu pravouhlých zložiek vektora môže líšiť. Ďalším široko používaným nástrojom je Pytagorova veta.

cvičenie

Nasledujúce cvičenia zaviedli do praxe definíciu pravouhlých komponentov vektora a vzťahy opísané vyššie.

Prvé cvičenie

Je známe, že vektor A má veľkosť rovnú 12 a uhol, ktorý vytvára s osou X, má mieru 30 °. Určte pravouhlé komponenty uvedeného vektora A.

Riešenie

Ak je obraz ocenený a použijú sa vyššie uvedené vzorce, je možné dospieť k záveru, že zložka v osi Y vektora A sa rovná

sin (30 °) = Vy / 12, a preto Vy = 12 * (1/2) = 6.

Na druhej strane máme zložku na osi X vektora A rovnú

cos (30 °) = Vx / 12, a preto Vx = 12 * (-3/2) = 6,3.

Druhé cvičenie

Ak má vektor A veľkosť rovnú 5 a zložka na osi x je rovná 4, určte hodnotu zložky A na osi y.

Riešenie

Použitím Pythagorovej vety je to, že veľkosť vektora A na druhú sa rovná súčtu štvorcov dvoch obdĺžnikových komponentov. To znamená, M2 = (Vx) + + (Vy) ².

Nahradenie daných hodnôt musíte

5 = = (4) ² + (Vy) ², preto 25 = 16 + (Vy) ².

To znamená, že (Vy) ² = 9 a následne Vy = 3.

Tretie cvičenie

Ak má vektor A veľkosť rovnú 4 a zviera s osou X uhol 45 °, určte obdĺžnikové komponenty tohto vektora.

Riešenie

Použitím vzťahov medzi pravouhlým trojuholníkom a trigonometrickými funkciami je možné dospieť k záveru, že zložka na osi Y vektora A sa rovná

sin (45 °) = Vy / 4, a preto Vy = 4 * (~ 2/2) = 2 ~ 2.

Na druhej strane máme zložku na osi X vektora A rovnú

cos (45 °) = Vx / 4, a preto Vx = 4 * (~ 2/2) = 2 × 2.

Referencie

1. Landaverde, FD (1997). Geometria (opakovaná tlač). Progress.
2. Leake, D. (2006). Trojuholníky (ilustrované vydanie). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometria. Technologický ČR.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.