POISSONOV POMER: KOEFICIENT, VZORCE, HODNOTY, PRÍKLADY - FYZICKÝ - 2026

Poisson je pomer je bezrozmerná veličina, charakteristické pre každý materiál. Je to indikácia deformácie kusu materiálu pred pôsobením určitých síl.

Ak kus materiálu, ktorý je vystavený napätiu alebo stlačeniu, dôjde k deformácii, kvocient medzi priečnou deformáciou a pozdĺžnou deformáciou je presne Poissonov pomer.

Obrázok 1. Poissonov pomer meria vzťah medzi pozdĺžnym roztiahnutím a priečnym zúžením. (Pripravil Ricardo Pérez)

Napríklad gumový valec, ktorý je na koncoch vystavený napätiu, sa tiahne v pozdĺžnom smere, ale zužuje sa priečne. Obrázok 1 zobrazuje tyč, ktorej pôvodné rozmery sú: dĺžka L a priemer D.

Tyč je na svojich koncoch vystavená ťahu T a v dôsledku tohto napätia sa napína, takže nová dĺžka je L '> L. Ale keď je napnutá, jej priemer sa tiež zužuje na novú hodnotu: D , <D.

Kvocient medzi úsekom (pozitívny) a zúžením (negatívnym) vynásobeným (-1) je kladné číslo medzi 0 a 0,5. Toto číslo je tzv. Poissonov pomer ν (grécke písmeno nu).

Poissonov pomerový vzorec

Na výpočet Poissonovho pomeru je potrebné určiť pozdĺžne a priečne napätie.

Pozdĺžne napätie ε _L je úsek delený pôvodnou dĺžkou:

e _L = (L '- L) / L

Podobne je priečnym namáhaním ε _T radiálne zúženie delené pôvodným priemerom:

e _T = (D '- D) / D

Poissonov pomer sa preto vypočíta podľa tohto vzorca:

v = - ε _T / S _L

Vzťah k modulu pružnosti a modulu tuhosti

Poissonov pomer ν sa vzťahuje na modul E pružnosti (alebo Youngov modul) a modul tuhosti G podľa tohto vzorca:

Poissonova hodnota pomeru materiálov

Obrázok 2. Nerezová oceľ má Poissonov pomer medzi 0,30 a 0,31. Zdroj: Pixabay.

Príklady výpočtu

Príklad 1

Tyč z určitého plastového materiálu má dĺžku 150 mm a kruhový prierez s priemerom 20 mm. Keď je stlačená sila F 612,25 kg-f, pozoruje sa skrátenie 14 mm a súčasne zvýšenie priemeru tyče o 0,85 mm.

Vypočítajte:

a) Pozdĺžne napätie.

b) Priečny kmeň.

c) Poissonov pomer tohto materiálu.

d) Youngov modul pružnosti zodpovedajúci materiálu.

e) modul tuhosti pre tento plast.

Riešenie

Pripomeňme, že pozdĺžny tlak εL je úsek delený pôvodnou dĺžkou:

eL = (L '- L) / L

eL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Všimnite si, že pozdĺžne namáhanie je bezrozmerné a v tomto prípade bolo negatívne, pretože došlo k zníženiu jeho pozdĺžneho rozmeru.

Riešenie b

Podobne je priečnym namáhaním εT radiálne zúženie delené pôvodným priemerom:

εT = (D '- D) / D

eT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Priečny tlak bol pozitívny, pretože došlo k zvýšeniu priemeru tyče.

Riešenie c

Pri výpočte Poissonovho pomeru je potrebné pamätať na to, že je definovaný ako záporný koeficient kvocientu medzi priečnou deformáciou a pozdĺžnou deformáciou:

ν = - εT / εL

v = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Malo by sa pamätať na to, že Poissonov pomer je kladné bezrozmerné číslo a pre väčšinu materiálov je medzi 0 a 0,5.

Riešenie d

Youngov modul pružnosti, označený písmenom E, je konštanta proporcionality podľa Hookeovho zákona. Pri E je normálne napätie σL spojené s kmeňom εL takto:

σL = E εL

Normálne napätie je definované ako kvocient medzi normálnou silou (v tomto prípade rovnobežnou s osou tyče) a plochou prierezu:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

V tomto cvičení je sila F 612,25 kg-f, ktorá musí byť prevedená na newtony, čo je sila SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6 000 N = 6 kN

Prierez oblasťou A je:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Napokon normálne namáhanie pôsobiace na tyč je:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4m ^ = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Na výpočet Youngovho modulu pružnosti riešime pre E z Hookeovho zákona σL = E εL:

E = aL / e = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Riešenie e

Modul tuhosti G súvisí s Youngovým modulom E a Poissonovým pomerom ν podľa tohto vzorca:

E / (2 G) = 1 + v

Odtiaľ môžeme vyriešiť G:

G = E / (2 (1 + v)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Príklad 2

K dispozícii je medený kábel s priemerom 4 mm a 1 m dlhým. S vedomím, že Youngov modul medi je 110 000 MPa a že jeho Poissonov pomer je 0,34, odhadnite napnutie a zúženie priemeru, ktorý drôt podstúpi, keď sa na ňom zavesí hmotnosť 100 kg-f.

Riešenie

Najprv je potrebné vypočítať normálne napätie v ťahu, ktoré zaťažuje drôt, podľa tohto vzorca:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Sila F je 980 N a plocha prierezu je:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Potom je ťahové napätie:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m2 = 77,986 000 Pa

Výpočet kmeňa drôtu

Youngov modul pružnosti, označený písmenom E, je konštanta proporcionality podľa Hookeho zákona, ktorá spája normálne napätie σL s kmeňom εL:

σL = E εL

Odtiaľ je možné vyriešiť pozdĺžne namáhanie medeného drôtu:

eL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Výpočet priečneho zaťaženia

Na druhej strane, aby sme poznali priečny kmeň, používa sa Poissonov pomer:

ν = - εT / εL

Priečny kmeň je nakoniec:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Výpočet absolútneho roztiahnutia kábla

Nakoniec, aby sme poznali absolútny úsek kábla, musí sa uplatniť tento vzťah:

ΔL = EL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

To znamená, že pri tejto hmotnosti sa kábel sotva natiahol 0,709 milimetra.

Výpočet zníženia priemeru

Na získanie absolútneho zmenšenia priemeru používame nasledujúci vzorec:

ΔD = eT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0 000964 milimetrov.

Toto zúženie priemeru je také malé, že je ťažké ho vidieť voľným okom, dokonca aj jeho meranie vyžaduje vysoko presný prístroj.

Referencie

1. Pivo F .. Mechanika materiálov. 5 .. Vydanie. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mechanika materiálov. Ôsme vydanie. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mechanika materiálov. Ôsme vydanie. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Princípy s aplikáciami. 6. ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Poznámky k všeobecnej fyzike. UNAM. 87-98.