ŤAŽISKO: VLASTNOSTI, VÝPOČET, PRÍKLADY - FYZICKÝ - 2024

Ťažisko útvaru merateľnej veľkosti je bod, v ktorom je jeho hmotnosť za to byť použité. Je preto jedným z hlavných pojmov statiky.

Prvý prístup v problémoch elementárnej fyziky spočíva v predpoklade, že akýkoľvek objekt sa správa ako bodová hmota, to znamená, že nemá rozmery a všetka hmota je sústredená v jednom bode. Platí to pre škatuľu, auto, planétu alebo subatomickú časticu. Tento model je známy ako časticový model.

Obrázok 1. Pri vysokom skoku športovec spravuje tak, že jeho ťažisko je mimo tela. Zdroj: Pixabay

Toto je samozrejme aproximácia, ktorá funguje veľmi dobre pre mnoho aplikácií. Nie je ľahké zvážiť individuálne správanie tisícov a miliónov častíc, ktoré môže obsahovať akýkoľvek objekt.

Ak sa majú dosiahnuť výsledky, ktoré sú bližšie k realite, musia sa zohľadniť skutočné dimenzie vecí. Pretože sme vo všeobecnosti v blízkosti Zeme, vždy prítomnou silou na akomkoľvek tele je práve hmotnosť.

Úvahy o nájdení ťažiska

Ak sa má brať do úvahy veľkosť tela, kde konkrétne sa má použiť hmotnosť? Ak máte ľubovoľne tvarovaný súvislý predmet, jeho hmotnosť je sila rozdelená medzi každú z jeho podstatných častíc.

Nech sú tieto častice m ₁ , m ₂ , m ₃ … Každá z nich prežíva svoju zodpovedajúcu gravitačnú silu m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g …, všetky sú rovnobežné. Je to tak, pretože gravitačné pole Zeme sa vo veľkej väčšine prípadov považuje za konštantné, pretože objekty sú v porovnaní s veľkosťou planéty malé a sú blízko jej povrchu.

Obrázok 2. Hmotnosť predmetu je rozdelená hmotnosť. Zdroj: vlastný.

Súčet týchto síl vedie k hmotnosti predmetu, aplikovanej na bod nazývaný ťažisko označený na obrázku ako CG, ktorý sa potom zhoduje s ťažiskom. Ťažiskom je zase miesto, kde by sa všetka hmota mohla považovať za koncentrovanú.

Výsledná hmotnosť má magnézium Mg, kde M je celková hmotnosť objektu a je samozrejme smerovaná vertikálne smerom do stredu Zeme. Sumačný zápis je užitočný na vyjadrenie celkovej hmotnosti tela:

Ťažisko sa nie vždy zhoduje s hmotným bodom. Napríklad CG prsteňa je v jeho geometrickom strede, kde nie je žiadna hmota samotná. Ak však chcete analyzovať sily pôsobiace na obruč, musíte k tomuto presnému bodu prikladať váhu.

V prípadoch, keď má objekt ľubovoľný tvar, ak je homogénny, jeho ťažisko sa môže ešte vypočítať na základe zistenia ťažiska alebo ťažiska postavy.

Ako sa počíta ťažisko?

V zásade, ak sa ťažisko (CG) a ťažisko (cm) zhodujú, keď je gravitačné pole rovnomerné, potom sa môže vypočítať cm a naň sa môže použiť hmotnosť.

Uvažujme dva prípady: prvý je ten, v ktorom je rozdelenie hmoty diskrétne; to znamená, že každá hmota, ktorá tvorí systém, sa môže spočítať a prideliť číslo i, ako sa to urobilo v predchádzajúcom príklade.

Súradnice ťažiska pre diskrétne rozdelenie hmotnosti sú:

Súčet všetkých hmotností sa samozrejme rovná celkovej hmotnosti systému M, ako je uvedené vyššie.

Pri zvažovaní vektora r _cm alebo polohového vektora ťažiska sa tieto tri rovnice zmenšia na kompaktnú formu :

A v prípade nepretržitého rozdelenia hmoty, keď sú častice rozdielnej veľkosti a nemožno ich rozlíšiť, aby sa mohli spočítať, suma sa nahradí integrálom, ktorý sa vytvorí z objemu obsadeného predmetom:

Kde r je polohový vektor diferenciálnej hmotnosti dm a na vyjadrenie hmotnostného rozdielu dm obsiahnutého v objemovom diferenciáli dV sa použila definícia hmotnostnej hustoty:

vlastnosti

Niektoré dôležité úvahy o ťažisku sú nasledujúce:

- Aj keď sa na určenie polôh vyžaduje referenčný systém, ťažisko nezávisí od výberu systému, pretože je to vlastnosť objektu.

- Ak má objekt os alebo rovinu súmernosti, ťažisko je na tejto osi alebo rovine. Využitie tejto okolnosti šetrí čas výpočtu.

- Všetky vonkajšie sily pôsobiace na predmet môžu pôsobiť na ťažisko. Sledovanie pohybu tohto bodu poskytuje prehľad o pohybe objektu a uľahčuje štúdium jeho správania.

- Nájdenie ťažiska tela v statickej rovnováhe

Predpokladajme, že chcete, aby bolo telo z predchádzajúceho obrázku v statickej rovnováhe, to znamená, že sa neprekladá ani neotáča okolo ľubovoľnej osi rotácie, ktorá môže byť O.

Obrázok 3. Schéma výpočtu krútiaceho momentu závažia vzhľadom na bod O.

-Riešený príklad

Tenká tyč z rovnomerného materiálu má dĺžku 6 ma váži 30 N. Hmotnosť 50 N sa zavesí na jej ľavý koniec a hmotnosť 20 N sa zavesí na jej pravý koniec. Zistite: a) veľkosť sily smerom nahor potrebnej na udržanie rovnováhy tyče, b) ťažisko zostavy.

Riešenie

Schéma sily je znázornená na nasledujúcom obrázku. Hmotnosť tyče sa aplikuje v jej ťažisku, ktoré sa zhoduje s jej geometrickým stredom. Jediným rozmerom tyče, ktorý sa berie do úvahy, je jej dĺžka, pretože vyhlásenie uvádza, že je tenká.

Obrázok 4. Schéma síl pre tyč.

Aby systém závaží bar + zostal v translačnej rovnováhe, súčet síl musí byť nula. Sily sú zvislé, ak uvažujeme so znamienkom + a dole so znamienkom - potom:

F-50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Táto sila zaručuje translačnú rovnováhu. Zohľadnenie krútiacich momentov všetkých síl vzhľadom na os, ktorá prechádza krajnou ľavou stranou systému a uplatňuje sa definícia:

t = rx F

Momenty všetkých týchto síl okolo zvoleného bodu sú kolmé na rovinu tyče:

teda:

Ťažisko súpravy barov a závaží sa nachádza 2,10 metrov od ľavého konca tyče.

Rozdiel od ťažiska

Ťažisko sa zhoduje s ťažiskom, ako je uvedené, pokiaľ je gravitačné pole Zeme konštantné pre všetky body predmetu, ktorý sa má zvážiť. Gravitačné pole Zeme nie je nič iné ako známa a známa hodnota g = 9,8 m / s ² smerovaná zvisle dole.

Aj keď sa hodnota g mení v závislosti na zemepisnej šírke a nadmorskej výške, zvyčajne to neovplyvňuje objekty, o ktorých sa väčšinou diskutuje. Bolo by veľmi odlišné, keby ste zvážili veľké telo v blízkosti Zeme, napríklad asteroid, ktorý je veľmi blízko planéty.

Asteroid má svoje vlastné ťažisko, ale jeho ťažisko by sa s tým už nemuselo časovo zhodovať, pretože v prípade g by pravdepodobne došlo k podstatným zmenám veľkosti vzhľadom na veľkosť asteroidu a hmotnosť jednotlivých častíc nemusí byť rovnobežná.

Ďalším zásadným rozdielom je to, že ťažisko sa nachádza bez ohľadu na to, či na predmet pôsobí sila, ktorá sa nazýva váha. Je to vnútorná vlastnosť objektu, ktorá nám odhaľuje, ako je jeho hmota distribuovaná vo vzťahu k svojej geometrii.

Ťažisko existuje bez ohľadu na to, či je alebo nie je použitá váha. A je umiestnený v rovnakej polohe, aj keď sa objekt pohybuje na inú planétu, v ktorej je gravitačné pole odlišné.

Na druhej strane, ťažisko je jasne spojené s uplatňovaním váhy, ako sme videli v predchádzajúcich odsekoch.

Príklady ťažiska

Ťažisko nepravidelných predmetov

Je veľmi ľahké zistiť, kde je ťažisko nepravidelného predmetu, napríklad šálky. Najprv je zavesený z ktoréhokoľvek bodu a odtiaľ je nakreslená zvislá čiara (na obrázku 5 je to fuchsiová čiara na ľavom obrázku).

Potom sa pozastaví z iného bodu a nakreslí sa nová vertikála (tyrkysová čiara na pravom obrázku). Priesečník oboch čiar je ťažiskom šálky.

Obrázok 5. CG umiestnenie hrnčeka. Zdroj: upravený z Pixabay.

Vyvažovanie objektov

Poďme analyzovať stabilitu nákladného automobilu cestujúceho po ceste. Ak je ťažisko nad základňou vozidla, vozidlo sa nemôže prevrátiť. Obrázok vľavo je najstabilnejšou pozíciou.

Obrázok 6. Vyváženie vozidla. Zdroj: vlastný.

Aj keď sa nákladné auto nakloní doprava, bude sa môcť vrátiť do stabilnej rovnovážnej polohy, ako je to na strednom výkrese, pretože vertikála stále prechádza základňou. Ak sa však táto čiara dostane mimo vozidla, prevráti sa.

Schéma ukazuje sily na stredovej osi: normálne žlté, hmotnosť zelené a statické trenie vľavo v fuchsie. Na os rotácie sa aplikuje normálne a trenie, takže nevyvíjajú krútiaci moment. Preto nebudú prispievať k prevráteniu vozidla.

Závažie, ktoré našťastie pôsobí krútiacim momentom, zostáva našťastie proti smeru hodinových ručičiek a má tendenciu vracať vozidlo do rovnovážnej polohy. Všimnite si, že zvislá čiara prechádza cez podporný povrch, ktorým je pneumatika.

Ak je pozemný dopravník v úplne pravej polohe, krútiaci moment hmotnosti sa zmení v smere hodinových ručičiek. Nemožno sa proti nemu čeliť inokedy, vozidlo sa prevráti.

Referencie

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pre techniku ​​a vedu. Zväzok 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Princípy s aplikáciami. 6. ed. Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fyzický. Zväzok 1. 3. vydanie, španielčina. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson, 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Univerzitná fyzika s modernou fyzikou. 14 .. Vyd. Zväzok 1340 - 346.