AKO ZISTÍTE OBLASŤ PÄŤUHOLNÍKA? - MATEMATIKA - 2026

Plocha päťuholníka je vypočítaná za použitia metódy známej ako triangulácie, ktorý môže byť aplikovaný na akékoľvek polygónu. Táto metóda spočíva v rozdelení päťuholníka na niekoľko trojuholníkov.

Potom sa vypočíta plocha každého trojuholníka a nakoniec sa pridajú všetky nájdené oblasti. Výsledkom bude plocha päťuholníka.

Pentagón sa dá rozdeliť aj na iné geometrické tvary, napríklad lichobežník a trojuholník, napríklad obrázok napravo.

Problém je v tom, že dĺžka väčšej základne a výška lichobežníka nie je ľahké vypočítať. Musí sa vypočítať aj výška červeného trojuholníka.

Ako nájsť oblasť päťuholníka?

Všeobecnou metódou na výpočet plochy päťuholníka je triangulácia, ale táto metóda môže byť priama alebo trochu dlhšia v závislosti od toho, či je päťuholník pravidelný alebo nie.

Oblasť pravidelného päťuholníka

Pred výpočtom plochy je potrebné vedieť, čo je to apatia.

Apotém pravidelného päťuholníka (pravidelný mnohouholník) je najmenšia vzdialenosť od stredu päťuholníka (polygónu) do stredu jednej strany päťuholníka (polygónu).

Inými slovami, apotém predstavuje dĺžku úsečky, ktorá prechádza zo stredu päťuholníka do stredu jednej strany.

Uvažujme pravidelný päťuholník, ktorého dĺžka jeho strán je „L“. Ak chcete vypočítať jeho apotém, najprv vydelte stredný uhol α počtom strán, tj α = 360 ° / 5 = 72 °.

Teraz, s použitím trigonometrických pomerov, sa dĺžka apotému vypočíta, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Preto má apotém dĺžku L / 2tan (36 °) = L / 1,45.

Triangulovaním päťuholníka sa získa číslo podobné číslu uvedenému nižšie.

Všetkých 5 trojuholníkov má rovnakú plochu (za to, že ide o pravidelný päťuholník). Preto je plocha päťuholníka päťkrát väčšia ako plocha trojuholníka. To znamená: plocha päťuholníka = 5 * (L * ap / 2).

Nahradením hodnoty apotému získame, že plocha je A = 1,72 * L².

Preto pre výpočet plochy pravidelného päťuholníka potrebujete iba dĺžku jednej strany.

Oblasť nepravidelného päťuholníka

Vychádzame z nepravidelného päťuholníka tak, že dĺžky jeho strán sú L1, L2, L3, L4 a L5. V tomto prípade nie je možné použiť apotém, aký bol predtým použitý.

Po vykonaní triangulácie sa získa číslo, ako je toto:

Teraz začneme kresliť a vypočítať výšky týchto 5 vnútorných trojuholníkov.

Takže oblasti vnútorných trojuholníkov sú T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 a T5 = L5 * h5 / 2.

Hodnoty h1, h2, h3, h4 a h5 sú výšky každého trojuholníka.

Nakoniec plocha päťuholníka je súčtom týchto 5 oblastí. To znamená, že A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Ako vidíte, výpočet oblasti nepravidelného päťuholníka je zložitejší ako výpočet oblasti pravidelného päťuholníka.

Gaussovský determinant

Existuje aj ďalšia metóda, pomocou ktorej sa dá vypočítať plocha ľubovoľného nepravidelného mnohouholníka, známa ako gaussovský determinant.

Táto metóda spočíva v kreslení polygónu na karteziánsku rovinu, potom sa vypočítajú súradnice každého vrcholu.

Vrcholy sa spočítajú proti smeru hodinových ručičiek a nakoniec sa určia určité determinanty, aby sa konečne získala plocha príslušného mnohouholníka.

Referencie

1. Alexander, DC, a Koeberlein, GM (2014). Elementárna geometria pre študentov vysokých škôl. Cengage Learning.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
3. Lofret, EH (2002). Kniha tabuliek a vzorcov / Kniha multiplikačných tabuliek a vzorcov. Nápaditý.
4. Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktická matematika: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria a posuvné pravidlo (dotlač. Ed.). Reverte.
5. Posamentier, AS, a Bannister, RL (2014). Geometria, jej prvky a štruktúra: druhé vydanie. Courier Corporation.
6. Quintero, AH, a Costas, N. (1994). Geometria. Editorial, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometria. Editorial Tecnologica de CR.
8. Torah, FB (2013). Matematika. 1. didaktická jednotka 1. ESO, ročník 1. Redakčný klub Universitario.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matematika (šiesty rok). EUNED.