KONJUGÁT BINOMICKÝ: AKO HO VYRIEŠIŤ, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Konjugovaná dvojčlen iného spárovanie je ten, v ktorom sú rozlíšené iba znakom operácie. Binomický, ako naznačuje jeho názov, je algebraická štruktúra pozostávajúca z dvoch výrazov.

Niektoré príklady binomických materiálov sú: (a + b), (3m - n) a (5x - y). A ich príslušné združené binomálie sú: (a - b), (-3m - n) a (5x + y). Ako možno okamžite vidieť, rozdiel je v označení.

Obrázok 1. Binomický a jeho združený binomický. Majú rovnaké výrazy, ale líšia sa znakom. Zdroj: F. Zapata.

Binomické násobenie jeho konjugátu vedie k pozoruhodnému produktu, ktorý sa široko používa v algebre a vede. Výsledkom násobenia je odčítanie druhých mocnín od podmienok pôvodného binomického poľa.

Napríklad, (x - y) je binomický a jeho konjugát je (x + y). Výsledkom týchto dvojhviezd je rozdiel štvorcov výrazov:

(X - y) (x + y) = x. ² - y ²

Ako vyriešite združené binomické?

Stanovené pravidlo združených dvojhviezd je toto:

Ako príklad aplikácie začneme demonštrovaním predchádzajúceho výsledku, ktorý sa dá dosiahnuť pomocou distribučnej vlastnosti produktu vzhľadom na algebraickú sumu.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - rr

Vyššie uvedené množenie sa získalo pomocou týchto krokov:

- Prvý člen prvého binomického obdobia sa vynásobí prvým funkčným obdobím druhého

- Potom prvý z prvého, druhý z druhého

- Potom druhý z prvého do druhého z druhého

- Nakoniec druhý z prvého do druhého z druhého.

Teraz urobme malú zmenu pomocou komutatívnej vlastnosti: yx = xy. Vyzerá to takto:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - rr

Pretože existujú dva rovnaké výrazy, ale s opačným znamienkom (zvýraznené farbou a podčiarknuté), sú zrušené a zjednodušené:

(x - y) (x + y) = xx - rr

Nakoniec je aplikovaný, že násobí rad sám o sebe je ekvivalentná k zvyšovaniu do štvorca tak, že xx = x ² a tiež yy = y ² .

Týmto spôsobom sa preukáže, čo bolo uvedené v predchádzajúcej časti, že súčin súčtu a jeho rozdiel je rozdiel štvorcov:

(X - y) (x + y) = x. ² - y ²

Obrázok 2. Súčet násobok jeho rozdielu je rozdiel štvorcov. Zdroj: F. Zapata.

Príklady

- Konjugované binomálie rôznych výrazov

Príklad 1

Nájdite konjugát z ( ² - 3 roky).

Odpoveď : (r. ² + 3r)

Príklad 2

Získa sa produkt z ( ² - 3 roky) a jeho konjugát.

Odpoveď: (y ² - 3r) (Y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9Y ²

Príklad 3

Vyvinúť produkt (1 + 2a). (2a -1).

Odpoveď: predchádzajúci výraz je ekvivalentný s (2a + 1). (2a -1), to znamená, že zodpovedá produktu binomického a jeho konjugátu.

Je známe, že súčin binomického členenia pomocou jeho združeného binomického členu sa rovná rozdielu druhých mocnín podmienok binomického členu:

(2a + 1) (2a - 1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Príklad 4

Produkt (x + y + z) (x - y - z) napíšte ako rozdiel štvorcov.

Odpoveď: Vyššie uvedené trinomiály môžeme asimilovať do konjugovanej binomickej formy, pričom sa starostlivo používajú zátvorky a hranaté zátvorky:

(x + y + z) (x - y - z) =

Týmto spôsobom je možné použiť rozdiel štvorcov:

(x + y + z) (x - y - z) =. = X ² - (y + z) ²

Príklad 5

Expresný produkt (m ² - m-1). (M ² + m -1) ako rozdiel štvorcov.

Odpoveď : predchádzajúci výraz je produktom dvoch trojíc. Najskôr sa musí prepísať ako súčin dvoch združených dvojhviezd:

(M ² - m-1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Ako bolo vysvetlené, uplatňujeme skutočnosť, že súčin binomika jeho konjugátom je kvadratickým rozdielom jeho pojmov.

, = (M ² -1) ² - m ²

cvičenie

Ako vždy začnete s najjednoduchšími cvičeniami a potom zvýšite úroveň zložitosti.

- Cvičenie 1

Napíšte (9 - ² ) ako produkt.

Riešenie

Najprv prepíšeme výraz ako rozdiel štvorcov, aby sme použili to, čo už bolo vysvetlené. teda:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Ďalej vezmeme do úvahy faktor, ktorý je rovnocenný so zapísaním tohto rozdielu štvorcov ako produktu, ako sa vyžaduje vo vyhlásení:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3-a)

- Cvičenie 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴ .

Riešenie

Faktoring výrazu znamená písanie ako produktu. V takom prípade je potrebné výraz predtým prepísať, aby sa získal rozdiel štvorcov.

Nie je to ťažké, pretože pri pozornom pohľade sú všetky faktory dokonalými štvorcami. Napríklad 16 je štvorec 4, 9 je štvorec 3 a ⁴ je štvorec y ² a x ² je štvorec x:

16x ² - 9Y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (Y ² ) ²

Potom aplikujeme to, čo už vieme predtým: že rozdiel štvorcov je produktom združených binomík:

(4x) ² - (3 a ² ) ² = (4x - 3 a ² ). (4x + 3 a ² )

- Cvičenie 3

Napíšte (a - b) ako výsledok binomických skúšok

Riešenie

Vyššie uvedený rozdiel by sa mal písať ako rozdiely štvorcov

(√a) ² - (√b) ²

Potom sa aplikuje, že rozdiel štvorcov je produktom konjugovaných binomómov

(√a - √b) (√a + √b)

- Cvičenie 4

Jedným z použití združeného binomického je racionalizácia algebraických výrazov. Tento postup spočíva v odstránení koreňov menovateľa zlomkového výrazu, čo v mnohých prípadoch uľahčuje operácie. Žiada sa o použitie binomického konjugátu na racionalizáciu nasledujúceho výrazu:

√ (2-x) /

Riešenie

Prvou vecou je identifikácia združeného binomického názvu menovateľa:

Teraz vynásobíme čitateľa a menovateľa pôvodného výrazu konjugovaným binomickým slovom:

√ (2-x) / {.}

V menovateli predchádzajúceho výrazu rozpoznávame súčin rozdielu súčtom, o ktorom už vieme, že zodpovedá rozdielu druhých mocnín dvojhviezd:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Zjednodušenie menovateľa je:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Teraz sa zaoberáme čitateľom, pre ktorý použijeme distribučnú vlastnosť produktu vzhľadom na sumu:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

V predchádzajúcom výraze poznáme binomický produkt (2-x) jeho konjugátom, ktorý je pozoruhodný produkt rovnajúci sa rozdielu štvorcov. Týmto spôsobom sa nakoniec získa racionalizovaný a zjednodušený výraz:

/ (1 - x)

- Cvičenie 5

Vyvíjajte nasledujúci produkt s využitím vlastností konjugovaného binomika:

,

Riešenie

4a ^{(2x + 6r)} - 9a ^(2x-6r) = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = a ^(2x)

Pozorný čitateľ si všimol spoločný faktor, ktorý bol zvýraznený farebne.

Referencie

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Konjugované binomické cvičenia. Získané z: academia.edu.
3. Učiteľ matematiky Alex. Pozoruhodné výrobky. Obnovené z youtube.com.
4. Math2me. Konjugované binomické / pozoruhodné výrobky. Obnovené z youtube.com.
5. Konjugované binomické produkty. Získané z: lms.colbachenlinea.mx.
6. Virtuálne. Konjugované binomálie. Obnovené z: youtube.com.