ORTONORMÁLNY ZÁKLAD: VLASTNOSTI, PRÍKLADY A CVIČENIA - FYZICKÝ - 2024

Ortonormálna báza je vytvorený s vektormi na seba kolmé, a ktorého modul pružnosti je tiež 1 (jednotkové vektory). Pamätajme, že báza B vo vektorovom priestore V je definovaná ako skupina lineárne nezávislých vektorov schopných generovať uvedený priestor.

Vektorový priestor je zase abstraktná matematická entita, ktorej prvky sú vektory, ktoré sú obvykle spojené s fyzikálnymi veličinami, ako sú rýchlosť, sila a posun alebo tiež s maticami, polynómami a funkciami.

Obrázok 1. Ortonormálna základňa v rovine. Zdroj: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektory majú tri charakteristické prvky: veľkosť alebo modul, smer a zmysel. Ortonormálna báza je obzvlášť užitočná na ich reprezentáciu a pôsobenie s nimi, pretože akýkoľvek vektor, ktorý patrí do určitého vektorového priestoru V, sa môže písať ako lineárna kombinácia vektorov, ktoré tvoria ortorormálnu bázu.

Týmto spôsobom sa analyticky vykonávajú operácie medzi vektormi, ako sú sčítanie, odčítanie a rôzne typy produktov definovaných v uvedenom priestore.

Medzi najpoužívanejšie základy vo fyzike patrí báza tvorená jednotkovými vektormi i , j a k, ktoré predstavujú tri charakteristické smery trojrozmerného priestoru: výška, šírka a hĺbka. Tieto vektory sú tiež známe ako jednotkové kanonické vektory.

Ak sa namiesto toho vektory pracujú v rovine, postačia dva z týchto troch komponentov, zatiaľ čo v prípade jednorozmerných vektorov sa vyžaduje iba jeden.

Vlastnosti báz

1 - báza B je najmenšia možná sada vektorov, ktoré generujú vektorový priestor V.

2- Prvky B sú lineárne nezávislé.

3 - Akákoľvek báza B vektorového priestoru V umožňuje exprimovať všetky vektory V ako jeho lineárnu kombináciu a táto forma je jedinečná pre každý vektor. Z tohto dôvodu je B známy aj ako generujúci systém.

4 - Rovnaký vektorový priestor V môže mať rôzne bázy.

Príklady báz

Tu je niekoľko príkladov ortonormálnych báz a báz všeobecne:

Kánonický základ v ℜ

Nazýva sa tiež prírodná báza alebo štandardná báza ℜ ⁿ , kde ℜ ⁿ je n-rozmerný priestor, napríklad trojrozmerný priestor je ℜ ³ . Hodnota n sa nazýva rozmer vektorového priestoru a označuje sa ako dim (V).

Všetky vektory patriace do ℜ ⁿ sú zastúpené usporiadanými n-reklamami. Pre priestor ℜ ⁿ je kanonickým základom:

e ₁ = <1,0,. , , , 0>; e ₂ = <0,1 ,. , , , 0>; …… .. e _n = <0,0,. , , , 1>

V tomto príklade sme použili notáciu s hranatými zátvorkami alebo „hranatými zátvorkami“ a tučným písmom pre jednotkové vektory e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Kánonický základ v ℜ

Známe vektory i , j a k pripúšťajú rovnakú reprezentáciu a všetky tri z nich sú dostatočné na to, aby reprezentovali vektory v ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

To znamená, že báza môže byť vyjadrená takto:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Na overenie, že sú lineárne nezávislé, je determinant tvorený s nimi nenulový a rovný 1:

Musí byť tiež možné zapísať akýkoľvek vektor patriaci do ³ ako ich lineárnu kombináciu. Napríklad sila, ktorej pravouhlé komponenty sú F _x = 4 N, _Fy = -7 N a F _z = 0 N, bude napísaná vo vektorovej podobe takto:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Preto i , j a k tvoria systém generátorov ℜ ³ .

Ostatné ortonormálne základy v ℜ

Štandardná báza opísaná v predchádzajúcej časti nie je jedinou ortorormálnou bázou v ℜ ³ . Tu máme napríklad základy:

B ₁ = {; <- sin 9, cos 9, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Je možné preukázať, že tieto základne sú ortorormálne, preto si pamätáme podmienky, ktoré musia byť splnené:

- Vektory, ktoré tvoria bázu, musia byť k sebe navzájom kolmé.

- Každá z nich musí byť jednotná.

Môžeme to overiť s vedomím, že determinant, ktorý tvoria, musí byť nenulový a rovný 1.

Základňa B ₁ , je práve to, že z valcových súradniciach p, cp a Z, čo je ďalší spôsob, ako vyjadriť vektorov v priestore.

Obrázok 2. Valcové súradnice. Zdroj: Wikimedia Commons. Matematický buff.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Ukážte, že základňa B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} je ortorormálne.

Riešenie

Aby sme ukázali, že vektory sú navzájom kolmé, použijeme skalárny produkt, tiež nazývaný vnútorný alebo bodový produkt dvoch vektorov.

Nech ľubovoľné dva vektory u a v , ich bodkový produkt je definovaný:

u • v = uv cosθ

Na rozlíšenie vektorov ich modulov použijeme tučné písmo pre prvé a normálne písmeno pre druhé. θ je uhol medzi u a v, preto ak sú kolmé, znamená to, že θ = 90º a skalárny produkt je nula.

Alternatívne, v prípade, že vektory sú uvedené, pokiaľ ide o ich komponentov: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, skalárny súčin obidvoch, ktorý je komutatívny, sa vypočíta týmto spôsobom:

u • v = u _x .V _x + u _y .V _y + u _z .V _z

Týmto spôsobom sú skalárne produkty medzi každým párom vektorov:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Pre druhú podmienku sa vypočíta modul každého vektora, ktorý sa získa:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Moduly každého vektora sú teda:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Preto všetky tri sú jednotkové vektory. A konečne, determinant, ktorý tvoria, je nenulový a rovná 1:

- Cvičenie 2

Napíšte súradnice vektora w = <2, 3,1> v zmysle bázy vyššie.

Riešenie

Na tento účel sa používa nasledujúca veta:

w = < w • V ₁ > v ₁ + < W • objem ₂ > v ₂ + < W • v ₃ > v ₃ + … < w • V _n > v _n

To znamená, že môžeme napísať vektor do základne B, na základe koeficientov < w • V ₁ >, < w • V ₂ >, … < w • V _n >, pre ktoré musíme počítať k označeným skalárna produkty:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

So získanými skalárnymi produktmi sa skonštruuje matica nazývaná súradnicová matica w.

Súradnice vektora w v báze B sú preto vyjadrené:

_B =

Súradnicová matica nie je vektor, pretože vektor nie je rovnaký ako jeho súradnice. Toto je iba množina čísel, ktoré slúžia na expresiu vektora v danej báze, nie vektor ako taký. Závisia tiež od vybranej základne.

Nakoniec, podľa vety, by sa vektor w vyjadril takto :

W = (18/5) v ₁ + (1/5) V ₂ + V ₃

S: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; V ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, to znamená vektory bázy B.

Referencie

1. Larson, R. Základy lineárnej algebry. 6 .. Vydanie. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7 .. Vydanie. Zväzok 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Jednotka 10. Ortonormálne základy. Získané z: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla University. Valcové súradnice. Vektorové základne. Získané z: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonormálna základňa. Obnovené z: es.wikipedia.org.