PRAVDEPODOBNOSŤ AXIÓMY: TYPY, VYSVETLENIE, PRÍKLADY, CVIČENIA - DUDAS - 2026

Tieto axiómy pravdepodobnosti sú matematické výroky týkajúce sa teórie pravdepodobnosti, ktorý nezaslúži dôkaz. Axiómy založil v roku 1933 ruský matematik Andrei Kolmogorov (1903-1987) vo svojej knihe Základy teórie pravdepodobnosti a položil základy matematického štúdia pravdepodobnosti.

Pri vykonávaní určitého náhodného experimentu space je vzorkový priestor E súbor všetkých možných výsledkov experimentu, tiež nazývaných udalosti. Akákoľvek udalosť sa označuje ako A a P (A) je pravdepodobnosť jej výskytu. Potom Kolmogorov zistil, že:

Obrázok 1. Axiómy pravdepodobnosti nám umožňujú vypočítať pravdepodobnosť zasiahnutia hazardných hier, ako je ruleta. Zdroj: Pixabay.

- Axiom 1 (nezápornosť) : pravdepodobnosť, že nastane akákoľvek udalosť A, je vždy kladná alebo nula, P (A) ≥0. Ak je pravdepodobnosť udalosti 0, nazýva sa to nemožnou udalosťou.

- Axiom 2 (istota) : vždy, keď nejaká udalosť, ktorá patrí do E, je jej pravdepodobnosť 1, ktorú môžeme vyjadriť ako P (E) = 1. Toto je známe ako určitá udalosť, pretože pri vykonávaní experimentu je určite výsledok.

- axióma 3 (adícia) : v prípade dvoch alebo viacerých nekompatibilných udalostí po dvoch, ktorá sa nazýva ₁ , A ₂ , A ₃ …, pravdepodobnosť, že jav A ₁ plus ₂ plus _{3 sa} vyskytujú , a tak ďalej postupne je to súčet pravdepodobností každého deje osobitne.

Toto je vyjadrené ako: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

Obrázok 2. Pozoruhodný ruský matematik Andrei Kolmogorov (1903-1987), ktorý položil základy axiomatickej pravdepodobnosti. Zdroj: Wikimedia Commons.

príklad

Axiómy pravdepodobnosti sa široko používajú v mnohých aplikáciách. Napríklad:

Palec alebo pripináčik je hodený do vzduchu a keď padá na podlahu, je tu možnosť pristátia s bodom nahor (U) alebo s bodom dolu (D) (nebudeme uvažovať o iných možnostiach). Vzorový priestor pre tento experiment pozostáva z týchto udalostí, potom E = {U, D}.

Obrázok 3. V experimente s hodom na križovatku sú dve udalosti rôznych pravdepodobností: pristátie s bodom nahor alebo smerom k zemi. Zdroj: Pixabay.

Aplikáciou axiómov máme:

Ak je rovnako pravdepodobné, že pristane nahor alebo nadol, P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Konštrukcia a konštrukcia pripináčika však môžu spôsobiť, že padne tak či onak. Môže sa napríklad stať, že P (U) = ¾, zatiaľ čo P (D) = ¼ (Axiom 1).

Všimnite si, že v oboch prípadoch je súčet pravdepodobností 1. Axiómy však neuvádzajú, ako priradiť pravdepodobnosti, aspoň nie úplne. Uvádzajú však, že ide o čísla medzi 0 a 1 a že ako v tomto prípade je súčet všetkých 1.

Spôsoby priradenia pravdepodobnosti

Axiómy pravdepodobnosti nie sú metódou priraďovania hodnoty pravdepodobnosti. Na tento účel existujú tri možnosti, ktoré sú kompatibilné s axiómami:

Laplaceova vláda

Každej udalosti je priradená rovnaká pravdepodobnosť výskytu, potom je pravdepodobnosť výskytu definovaná ako:

Aká je napríklad pravdepodobnosť vytiahnutia esa z balíčka francúzskych kariet? Balíček má 52 kariet, z toho 13 v každej farbe a sú tu 4 farby. Každý oblek má 1 eso, takže celkovo sú 4 esá:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Laplaceovo pravidlo je obmedzené na obmedzené vzorkovacie priestory, kde je každá udalosť rovnako pravdepodobná.

Relatívna frekvencia

Tu musí byť experiment opakovateľný, pretože metóda je založená na uskutočňovaní veľkého počtu opakovaní.

Urobme opakovanie experimentu of, z ktorého zistíme, že n je počet výskytov určitej udalosti A, potom pravdepodobnosť, že k tejto udalosti dôjde, je:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Kde n / i je relatívna frekvencia udalosti.

Definovanie P (A) týmto spôsobom vyhovuje Kolmogorovovým axiómom, má však tú nevýhodu, že sa musí vykonať veľa testov, aby bola pravdepodobnosť primeraná.

Subjektívna metóda

Osoba alebo skupina ľudí sa môže dohodnúť na priradení pravdepodobnosti udalosti na základe vlastného úsudku. Nevýhodou tejto metódy je, že rôzni ľudia môžu tej istej udalosti priradiť rôzne pravdepodobnosti.

Cvičenie bolo vyriešené

V experimente, ktorý súčasne vyhodí 3 poctivé mince, získajte pravdepodobnosť opísaných udalostí:

a) 2 hlavy a chvost.

b) 1 hlava a dva chvosty

c) 3 kríže.

d) Aspoň 1 tvár.

Riešenie

Hlavy sú označené C a chvosty X. Ale existuje niekoľko spôsobov, ako získať dve hlavy a chvost. Napríklad prvé dve mince môžu pristáť hlavy a tretia môžu pristávať chvosty. Alebo môžu spadnúť hlavy, druhé chvosty a tretie hlavy. A konečne prvý môžu byť chvosty a zostávajúce hlavy.

Na zodpovedanie otázok je potrebné poznať všetky možnosti, ktoré sú opísané v nástroji nazývanom stromový diagram alebo strom pravdepodobnosti:

Obrázok 4. Stromový diagram súčasného hádzania troch poctivých mincí. Zdroj: F. Zapata.

Pravdepodobnosť, že akákoľvek minca bude hlavou, je ½, to isté platí pre chvosty, pretože minca je úprimná. V pravom stĺpci sú uvedené všetky možnosti, ktoré má priepasť, to znamená vzorový priestor.

Z priestoru vzorky sa vyberú kombinácie, ktoré reagujú na požadovanú udalosť, pretože poradie, v ktorom sa tváre objavujú, nie je dôležité. Existujú tri priaznivé udalosti: CCX, CXC a XCC. Pravdepodobnosť každej udalosti je:

P (CCX) = 1/2. ½. ½ = 1/8

To isté sa stane pre udalosti CXC a XCC, pričom každá z nich má pravdepodobnosť 1/8. Pravdepodobnosť získania presne 2 hlavičiek je teda súčtom pravdepodobností všetkých priaznivých udalostí:

P (2-stranný) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Riešenie b

Zistenie pravdepodobnosti, že dôjde k presne dvom kríženiam, je analogickým problémom ako ten predchádzajúci, zo vzorky sa vyberú aj tri priaznivé udalosti: CXX, XCX a XXC. teda:

P (2 kríže) = 3/8 = 0,375

Riešenie c

Intuitívne vieme, že pravdepodobnosť získania 3 chvostov (alebo 3 hláv) je nižšia. V tomto prípade je požadovaná udalosť XXX na konci pravého stĺpca, ktorého pravdepodobnosť je:

P (XXX) = 1/2. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Riešenie d

Požaduje sa získať aspoň jednu plochu, to znamená, že môžu vyjsť 3 plochy, 2 strany alebo 1 strana. Jedinou nezlučiteľnou udalosťou je udalosť, v ktorej vyjdú 3 chvosty, ktorých pravdepodobnosť je 0,125. Požadovaná pravdepodobnosť je preto:

P (najmenej 1 hlava) = 1 - 0,125 = 0,875.

Referencie

1. Canavos, G. 1988. Pravdepodobnosť a štatistika: Aplikácie a metódy. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Pravdepodobnosť a štatistika pre techniku ​​a vedu. 8 .. Vydanie. ABI.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Pravdepodobnosť. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teória pravdepodobnosti. Redakčná Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Pravdepodobnosť a štatistika pre strojárstvo a vedy. Pearson.