OBLÚK (GEOMETRIA): MIERA, TYPY OBLÚKOV, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Oblúk , v geometrii, je akýkoľvek zakrivená čiara, ktorá spája dva body. Zakrivená čiara, na rozdiel od priamky, je taká, ktorej smer je v každom bode na nej iný. Opakom oblúka je segment, pretože ide o priamy úsek, ktorý spája dva body.

Oblúkom, ktorý sa najčastejšie používa v geometrii, je kruhový oblúk. Ďalšie oblúky, ktoré sa bežne používajú, sú parabolický oblúk, eliptický oblúk a trakčný oblúk. Oblúková forma sa v architektúre často používa aj ako dekoratívny prvok a konštrukčný prvok. Toto je prípad prekladov dverí a okien, ako aj mostov a akvaduktov.

Obrázok 1. Dúha je zakrivená čiara, ktorá spája dva body na obzore. Zdroj: Pixabay

Oblúk a jeho miera

Miera oblúka je jeho dĺžka, ktorá závisí od typu krivky, ktorá spája dva body a ich polohy.

Dĺžka kruhového oblúka je jedným z najjednoduchších na výpočet, pretože dĺžka celého oblúka alebo obvodu obvodu je známa.

Obvod kruhu je dvojnásobok pílového polomeru: p = 2 π R. Ak to chceme vedieť, ak chceme vypočítať dĺžku kruhového oblúka uhla α (meraného v radiánoch) a polomeru R, použije sa pomer:

(s / p) = (a / 2 π)

Potom, po vyčistení z predchádzajúceho výrazu a nahradení obvodu p jeho vyjadrením ako funkcie polomeru R, máme:

s = (a / 2 π) p = (a / 2 π) (2 πR) = aR.

To znamená, že miera kruhového oblúka je súčinom jeho uhlového otvorenia a polomeru kruhového oblúka.

Pre oblúk všeobecne je problém komplikovanejší do tej miery, že veľkí myslitelia staroveku tvrdili, že to bola nemožná úloha.

Až príchod diferenciálneho a integrálneho počtu v roku 1665 bol problém merania oblúka uspokojivo vyriešený.

Pred vynálezom diferenciálneho počtu bolo možné nájsť riešenia iba pomocou polygonálnych čiar alebo oblúkov obvodu, ktoré sa približne rovnali skutočnému oblúku, ale tieto riešenia neboli presné.

Druhy lukov

Z hľadiska geometrie sú oblúky klasifikované podľa zakrivenej čiary, ktorá spája dva body v rovine. Existujú aj ďalšie klasifikácie podľa ich použitia a architektonickej formy.

Kruhový oblúk

Ak je čiara spájajúca dva body v rovine obvod obvodu určitého polomeru, máme kruhový oblúk. Obrázok 2 zobrazuje kruhový oblúk C spojovacích bodov A a B polomeru R.

Obrázok 2. Kruhový oblúk polomeru R, ktorý spája body A a B. Spracoval Ricardo Pérez.

Parabolický oblúk

Parabola je cesta, po ktorej nasleduje predmet, ktorý bol vyhodený šikmo do vzduchu. Keď je krivka, ktorá spája dva body, parabola, potom máme parabolický oblúk ako ten, ktorý je znázornený na obrázku 3.

Obrázok 3. Spojovacie body A a B. parabolického oblúka. Spracoval Ricardo Pérez.

Toto je tvar prúdu vody, ktorý vychádza z hadice smerujúcej nahor. Parabolický oblúk je možné pozorovať vo vodných zdrojoch.

Obrázok 4. Parabolický oblúk tvorený vodou z fontány v Drážďanoch. Zdroj: Pixabay.

Archenálny oblúk

Prístavný oblúk je ďalším prírodným oblúkom. Trend je krivka, ktorá sa prirodzene tvorí, keď reťaz alebo lano voľne visia z dvoch samostatných bodov.

Obrázok 5. Katéterový oblúk a porovnanie s parabolickým oblúkom. Pripravil Ricardo Pérez.

Trolejbus je podobný parabole, ale nie je to úplne to isté, čo vidno na obrázku 4.

Obrátený trolejový oblúk sa používa v architektúre ako konštrukčný prvok s vysokou pevnosťou v tlaku. V skutočnosti sa môže ukázať, že je najsilnejším typom luku zo všetkých možných tvarov.

Ak chcete vybudovať pevný trolejový oblúk, jednoducho skopírujte tvar visiaceho lana alebo reťaze a kopírovaný tvar sa prevráti a reprodukuje ho na dverách alebo na preklade okien.

Eliptický oblúk

Oblúk je eliptický, ak krivka spájajúca dva body je časťou elipsy. Elipsa je definovaná ako miesto bodov, ktorých vzdialenosť k dvom daným bodom vždy pripočítava konštantnú veličinu.

Elipsa je krivka, ktorá sa objavuje v prírode: je to krivka trajektórie planét okolo Slnka, ako to ukázal Johannes Kepler v roku 1609.

V praxi môže byť elipsa nakreslená pritlačením dvoch vzpier k zemi alebo dvoch špendlíkov na kus papiera a priviazaním k nim šnúrkou. Lano sa potom pritiahne fixkou alebo ceruzkou a krivka sa vysleduje. Kus elipsy je eliptický oblúk. Nasledujúca animácia ukazuje, ako je nakreslená elipsa:

Obrázok 5. Sledovanie elipsy pomocou napnutého lana. Zdroj: Wikimedia Commons

Obrázok 6 zobrazuje eliptické oblúkové spojovacie body G a H.

Obrázok 6. Eliptický oblúk spájajúci dva body. Pripravil Ricardo Pérez.

Príklady oblúkov

Nasledujúce príklady sa týkajú spôsobu výpočtu obvodu niektorých špecifických oblúkov.

Príklad 1

Obrázok 7 zobrazuje okno dokončené v rezanom kruhovom oblúku. Rozmery zobrazené na obrázku sú v stopách. Nájdite dĺžku oblúka.

Obrázok 7. Výpočet dĺžky kruhového oblúka okna. (Vlastné anotácie - obrázok okna na Pixabay)

Na získanie stredu a polomeru kruhového oblúka okenného prekladu sa na obrázku vytvoria nasledujúce konštrukcie:

- Segment KL je nakreslený a je nakreslený jeho zlomok.

- Po umiestnení najvyššieho bodu prekladu, ktorý nazývame M. Ďalej sa berie do úvahy segment KM a jeho stopa sa sleduje.

Priesečník obidvoch priamok je bod N a je tiež stredom kruhového oblúka.

- Teraz musíme zmerať dĺžku segmentu NM, ktorá sa zhoduje s polomerom R kruhového oblúka: R = 2,8 stopy.

- Ak chcete poznať dĺžku oblúka okrem polomeru, musíte poznať uhol, ktorý vytvára oblúk. Ktorý sa dá určiť dvoma metódami, buď sa meria uhlopriečkou, alebo sa alternatívne počíta pomocou trigonometrie.

V zobrazenom prípade je uhol tvorený oblúkom 91,13 °, ktorý sa musí prepočítať na radiány:

91,13 ° = 91,13 ° * π / 180 ° = 1,59 radiánov

Nakoniec vypočítame dĺžku oblúka pomocou vzorca s = α R.

s = 1,59 x 2,8 stopy = 4,45 stopy

Príklad 2

Nájdite dĺžku eliptického oblúka znázorneného na obrázku 8, poznať semi-hlavnú os r a semi-minor os s elipsou.

Obrázok 8. Eliptický oblúk medzi GH. Pripravil Ricardo Pérez.

Zistenie dĺžky elipsy bolo po dlhý čas jedným z najťažších problémov matematiky. Môžete získať riešenia vyjadrené eliptickými integrálmi, ale ak chcete mať číselnú hodnotu, musíte tieto integrály rozšíriť v výkonových radoch. Presný výsledok by si vyžadoval nekonečné termíny týchto sérií.

Hinduistický matematický génius Ramanujan, ktorý žil v rokoch 1887 až 1920, našťastie našiel vzorec, ktorý sa veľmi presne približuje obvodu elipsy:

Obvod elipsy s r = 3 cm a s = 2,24 cm je 16,55 cm. Zobrazený eliptický oblúk však má polovicu tejto hodnoty:

Dĺžka eliptického oblúka GH = 8,28 cm.

Referencie

1. Clemens S. 2008. Geometria a trigonometria. Pearson Education.
2. García F. Numerické postupy v jazyku Java. Dĺžka elipsy. Získané z: sc.ehu.es
3. Dynamická geometria. Luky. Získané z geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elipsy a paraboly okolo nás. Získané z: piziadas.com
5. Wikipedia. Oblúk (geometria). Obnovené z: es.wikipedia.com