PREDVOLENÁ A NADMERNÁ APROXIMÁCIA: ČO TO JE A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Pod a nad približovania je numerická metóda pre stanovenie hodnoty čísla v závislosti na rôznych stupníc presnosti. Napríklad číslo 235 623 je predvolene blízko 235,6 a prebytok 235,7. Ak považujeme desatiny za hranicu chyby.

Aproximácia spočíva v nahradení presného čísla inou, pričom uvedená náhrada by mala uľahčiť operácie matematického problému, zachovať štruktúru a podstatu problému.

Zdroj: Pexels.

A ≈B

Číta; Približné B . Kde „A“ predstavuje presnú hodnotu a „B“ približnú hodnotu.

Významné čísla

Hodnoty, s ktorými je definovaný približný počet, sú známe ako významné čísla. Pri aproximácii príkladu boli urobené štyri významné čísla. Presnosť čísla je daná počtom významných čísel, ktoré ho definujú.

Nekonečné nuly, ktoré je možné umiestniť napravo aj naľavo od čísla, sa nepovažujú za významné čísla. Poloha čiarky nehrá žiadnu úlohu pri určovaní významných číselných čísel.

750385

, , , , 00,0075038500. , , ,

75,038500000. , , , ,

750385000. , , , ,

, , , , , 000007503850000. , , , ,

Na čom spočíva?

Metóda je pomerne jednoduchá; vyberte viazanú chybu, čo nie je nič iné ako číselný rozsah, v ktorom chcete vykonať rez. Hodnota tohto rozsahu je priamo úmerná chybovosti približného čísla.

V uvedenom príklade vlastní 235 623 tisícok (623). Potom sa urobilo priblíženie k desiatkam. Nadbytočná hodnota (235,7) zodpovedá najvýznamnejšej hodnote v desatinách bezprostredne za pôvodným číslom.

Na druhej strane predvolená hodnota (235,6) zodpovedá najbližšej a najvýznamnejšej hodnote v desatinách, ktorá je pred pôvodným číslom.

Numerická aproximácia je v praxi s číslami celkom bežná. Ďalšími bežne používanými metódami sú zaokrúhľovanie a skrátenie ; ktoré zodpovedajú rôznym kritériám na priradenie hodnôt.

Rozpätie chyby

Pri definovaní číselného rozsahu, ktorý bude číslo pokrývať po aproximácii, definujeme aj hranicu chyby, ktorá sprevádza obrázok. Toto bude označené existujúcim alebo významným racionálnym číslom v pridelenom rozsahu.

V pôvodnom príklade majú hodnoty definované prebytkom (235,7) a predvolene (235,6) približnú chybu 0,1. V štatistických a pravdepodobnostných štúdiách sa riešia 2 typy chýb vzhľadom na číselnú hodnotu; absolútna chyba a relatívna chyba.

Váhy

Kritériá na stanovenie rozsahov aproximácie môžu byť veľmi variabilné a úzko súvisia so špecifikáciami prvku, ktorý sa má aproximovať. V krajinách s vysokou infláciou nadmerné aproximácie ignorujú niektoré číselné rozsahy, pretože sú nižšie ako inflačné stupnice.

Týmto spôsobom v prípade inflácie vyššej ako 100% predajca neupraví produkt od 50 do 55 dolárov, ale priblíži sa k 100 dolárov, čím ignoruje jednotky a desiatky priamym priblížením sa k stovke.

Pomocou kalkulačky

Konvenčné kalkulačky so sebou prinášajú režim FIX, kde používateľ môže nakonfigurovať počet desatinných miest, ktoré chcú vo svojich výsledkoch získať. To vytvára chyby, ktoré je potrebné zohľadniť pri presných výpočtoch.

Iracionálna aproximácia čísel

Niektoré hodnoty bežne používané v numerických operáciách patria do súboru iracionálnych čísel, ktorých hlavnou charakteristikou je neurčitý počet desatinných miest.

zdroj: Pexels.

Hodnoty ako:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828 …
• √2 = 1,414213562…

Pri experimentovaní sú bežné a ich hodnoty sa musia definovať v určitom rozsahu, pričom sa musia zohľadniť možné generované chyby.

Na čo sú?

V prípade delenia (1 - 3) sa pomocou experimentov zistí potreba znížiť počet vykonaných operácií na definovanie čísla.

1 3 = 0,3333333. , , , , ,

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. , , , , / 10000. , , , , = 0,3333333. , , , ,

Prezentuje sa operácia, ktorá môže byť trvalo neurčitá, preto je potrebné sa v určitom okamihu priblížiť.

V prípade:

1 ÷ 3 333333. , , , , / 10000. , , , , = 0,3333333. , , , ,

Pre každý bod stanovený ako miera chyby sa získa číslo menšie ako presná hodnota (1 ÷ 3). Týmto spôsobom sú všetky predtým vykonané aproximácie predvolené aproximácie (1 ÷ 3).

Príklady

Príklad 1

1. Ktoré z nasledujúcich čísel je predvolená aproximácia 0,0127

• 0.13
• 0,012; Je to predvolená aproximácia 0,0127
• 0,01; Je to predvolená aproximácia 0,0127
• 0,0128

Príklad 2

1. Ktoré z nasledujúcich čísiel predstavuje nadmernú aproximáciu 23 435

• 24; je aproximácia viac ako 23 435
• 23.4
• 23.44; je aproximácia viac ako 23 435
• 23,5; je aproximácia viac ako 23 435

Príklad 3

1. Nasledujúce čísla definujte pomocou predvolenej aproximácie so špecifikovanou chybovou väzbou.

• 547.2648 …. Po tisíce, stotiny a desiatky.

Tisíce: Tisíce tisícin zodpovedajú prvým 3 číslicam za čiarkou, kde po 999 príde jednotka. Postupujeme približne k 547 264.

Stovky: Označené prvými dvoma číslicami po čiarke, musia sa stovky stretnúť, aby sa dosiahla jednota. Týmto spôsobom sa predvolene približuje k 547,26.

Desiatky: V tomto prípade je hranica chyby omnoho vyššia, pretože rozsah aproximácie je definovaný v rámci celých čísel. Keď sa v predvolenom nastavení približujete k desiatim, dostanete 540.

Príklad 4

1. Nasledujúce čísla definujte pomocou nadmernej aproximácie so špecifikovanou chybovou väzbou.

• 1204 27317 Za desiatky, stovky a jedna.

Desiatky: Vzťahuje sa na prvú číslicu za čiarkou, pričom jednotka sa skladá po 0,9. Ak sa blížime k desiatkam vyššie, získa sa 1204,3 .

Stovky: Opäť je pozorovaná hranica chyby, ktorej rozsah je v rámci celých čísel čísla. Približné stovky prebytku dáva 1300 . Tento údaj sa výrazne líši od čísla 1204 27317. Z tohto dôvodu sa aproximácie zvyčajne neuplatňujú na celé čísla.

Jednotky: Nadmerným priblížením sa k jednotke sa získa 1205.

Príklad 5

1. Krajčírka znižuje dĺžku tkaniny 135,3 cm dlhý, aby sa 7855 cm ² vlajku . Koľko druhá strana zmeria, ak použijete konvenčné pravítko, ktoré sa vyznačuje až do milimetrov.

Približujte výsledky podľa prebytku a defektu .

Oblasť vlajky je obdĺžniková a je definovaná:

A = strana x strana

strana = A / strana

strana = 7855 cm ² / 135,3 cm

strana = 58,05617147 cm

Na základe vyhodnotenia pravidla môžeme získať údaje až do milimetrov, čo zodpovedá rozsahu desatinných miest vzhľadom na centimeter.

Teda 58 cm je predvolený priblíženie.

Kým 58.1 je nadmerná aproximácia.

Príklad 6

1. Definujte 9 hodnôt, ktoré môžu byť presnými číslami v každej aproximácii:

• 34 071 výsledkov v predvolenom nastavení z približne tisícin

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 je výsledkom predvolených približných tisícin

0,011291 0,012099 0,01202

0,011233 0,011223 0,011255

0,01201 0,01127 0,011297

• 23,9 vyplýva z aproximácie desatín prebytkom

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 je výsledok aproximácie stotín prebytku

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58,3623 58,361 58,3634

Príklad 7

1. Približné každé iracionálne číslo podľa vyznačenej hranice chyby:

• π = 3,141592654….

Tisíce v predvolenom nastavení π = 3,141

Tisíce o viac ako π = 3,142

Stovky predvolene π = 3,14

Stovky presahujúce π = 3,15

Desiatky v predvolenom nastavení π = 3.1

Desiatky prevyšujúce π = 3.2

• e = 2,718281828 …

Tisíce v predvolenom nastavení e = 2,718

Tisíce o prebytok e = 2,719

Stovky predvolene e = 2,71

Stovky presahujúce e = 2,72

Desiatky v predvolenom nastavení e = 2,7

Desiatky s prebytkom e = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Tisíce v predvolenom nastavení √2 = 1,414

Tisíce o viac ako √2 = 1,415

Stovky predvolene √2 = 1,41

Stovky presahujúce √2 = 1,42

Desiatky v predvolenom nastavení √2 = 1,4

Desiatky prevyšujúce √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,33333333. , , , ,

Tisíce v predvolenom nastavení 1 ÷ 3 = 0,322

Tisíce nad 1 ÷ 3 = 0,334

Stovky predvolene 1 ÷ 3 = 0,33

Stovky presahujúce 1 ÷ 3 = 0,34

Desiatky v predvolenom nastavení 1 ÷ 3 = 0,3

Desiatky presahujúce 1 ÷ 3 = 0,4

Referencie

1. Problémy v matematickej analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vroclavská univerzita. Poľsko.
2. Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxfordská univerzitná tlač.
3. The Aritmetic Teacher, Zväzok 29. Národná rada učiteľov matematiky, 1981. University of Michigan.
4. Učenie a výučba teórie čísel: Výskum v poznávaní a výučbe / editoval Stephen R. Campbell a Rina Zazkis. Ablex Publishing 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.