HISTORICKÉ POZADIE ANALYTICKEJ GEOMETRIE - MATEMATIKA - 2026

Tieto historické predchodcovia analytickej geometrie vrátiť do sedemnásteho storočia, kedy Pierre de Fermat a René Descartes definovaná jeho základnú myšlienku. Jeho vynález nasledoval po modernizácii algebry a algebraického zápisu Françoisa Vièta.

Toto pole má svoje základy v starovekom Grécku, najmä v dielach Apolloniusa a Euklida, ktorí mali veľký vplyv v tejto oblasti matematiky.

Základnou myšlienkou analytickej geometrie je to, že vzťah medzi dvoma premennými, takže jedna je funkciou druhej, definuje krivku.

Túto myšlienku prvýkrát vyvinul Pierre de Fermat. Vďaka tomuto základnému rámcu boli Isaac Newton a Gottfried Leibniz schopní vyvinúť počet.

Francúzsky filozof Descartes tiež objavil algebraický prístup k geometrii, očividne sám. Descartes práca na geometrii sa objavuje v jeho slávnej knihe Discourse on Method.

Táto kniha poukazuje na to, že geometrické konštrukcie kompasu a rovnej hrany zahŕňajú sčítanie, odčítanie, násobenie a odmocniny.

Analytická geometria predstavuje spojenie dvoch dôležitých tradícií v matematike: geometrie ako štúdia formy a aritmetika a algebra, ktoré súvisia s kvantitou alebo číslami. Analytická geometria je preto štúdiom oblasti geometrie pomocou súradnicových systémov.

histórie

Pozadie analytickej geometrie

Vzťah medzi geometriou a algebrou sa vyvíjal v histórii matematiky, hoci geometria dosiahla skoršie štádium zrelosti.

Napríklad grécky matematik Euclid dokázal zorganizovať veľa výsledkov vo svojej klasickej knihe The Elements.

Ale vo svojej knihe Conics predpovedal vývoj analytickej geometrie staroveký grécky Apolónia z Pergy. Definoval kužeľ ako priesečník medzi kužeľom a rovinou.

Pomocou Euklidovho výsledku na podobných trojuholníkoch a zoskupeniach kruhov našiel vzťah daný vzdialenosťami od ktoréhokoľvek bodu „P“ kužeľa k dvom kolmým čiaram, hlavnej osi kužeľa a dotyčnice v koncovom bode osi. Apollonius použil tento vzťah na odvodenie základných vlastností kužeľov.

Ďalší vývoj súradnicových systémov v matematike sa objavil až po dozretí algebry vďaka islamským a indickým matematikom.

Až do renesancie sa geometria používala na ospravedlnenie riešení algebraických problémov, ale nebolo veľa, čo by algebra mohla prispieť k geometrii.

Táto situácia by sa zmenila prijatím vhodnej notácie pre algebraické vzťahy a rozvojom konceptu matematickej funkcie, ktorý bol teraz možný.

Storočia XVI

Na konci 16. storočia francúzsky matematik François Viète predstavil prvý systematický algebraický zápis, ktorý používal písmená na vyjadrenie číselných množstiev, známych aj neznámych.

Vyvinul tiež silné všeobecné metódy pre prácu s algebraickými výrazmi a riešenie algebraických rovníc.

Vďaka tomu matematici neboli pri riešení problémov úplne závislí od geometrických útvarov a geometrickej intuície.

Dokonca aj niektorí matematici začali opustiť štandardný geometrický spôsob myslenia, podľa ktorého lineárne premenné dĺžok a štvorcov zodpovedajú oblastiam, zatiaľ čo kubické premenné zodpovedajú objemom.

Prvými, ktorí urobili tento krok, boli filozof a matematik René Descartes a právnik a matematik Pierre de Fermat.

Založenie analytickej geometrie

Descartes a Fermat nezávisle založili analytickú geometriu počas 30. rokov 20. storočia a prijali Vièteho algebru na štúdium lokusu.

Títo matematici si uvedomili, že algebra bola výkonným nástrojom v geometrii a vynašli to, čo sa dnes nazýva analytická geometria.

Jedným prelomom, ktorý urobili, bolo prekonať Viète pomocou písmen, ktoré reprezentujú vzdialenosti, ktoré sú skôr variabilné ako pevné.

Descartes použil rovnice na štúdium geometricky definovaných kriviek a zdôraznil potrebu zvážiť všeobecné algebraicko-grafické krivky polynomických rovníc v stupňoch „x“ a „y“.

Fermat zdôraznil, že akýkoľvek vzťah medzi súradnicami „x“ a „y“ určuje krivku.

Pomocou týchto myšlienok reštrukturalizoval Apolloniusove výroky podľa algebraických pojmov a obnovil časť svojej stratenej práce.

Fermat naznačil, že akákoľvek kvadratická rovnica v „x“ a „y“ môže byť umiestnená v štandardnej forme jednej z kužeľových sekcií. Napriek tomu Fermat nikdy nezverejnil svoju prácu na túto tému.

To, čo Archimedes mohol vďaka svojim pokrokom vyriešiť len s veľkými ťažkosťami, a v ojedinelých prípadoch mohli Fermat a Descartes riešiť rýchlo a pre veľké množstvo kriviek (teraz známych ako algebraické krivky).

Jeho myšlienky však získali všeobecné uznanie iba prostredníctvom úsilia ostatných matematikov v druhej polovici 17. storočia.

Matematici Frans van Schooten, Florimond de Beaune a Johan de Witt pomohli rozšíriť Decartesovu prácu a pridali ďalšie dôležité materiály.

vplyv

V Anglicku popularizoval analytickú geometriu John Wallis. Na definovanie kužeľov a odvodenie ich vlastností použil rovnice. Aj keď použil negatívne súradnice voľne, bol to Izák Newton, ktorý pomocou dvoch šikmých osí rozdelil lietadlo na štyri kvadranty.

Newton a nemecký Gottfried Leibniz revolúciu v matematike koncom 17. storočia nezávislým demonštrovaním sily počtu.

Newton demonštroval význam analytických metód v geometrii a ich úlohu v kalkulu, keď tvrdil, že každá kocka (alebo akákoľvek algebraická krivka tretieho stupňa) má tri alebo štyri štandardné rovnice pre vhodné súradnicové osi. V roku 1717 to dokázal škótsky matematik John Stirling pomocou samotného Newtona.

Analytická geometria troch a viacerých rozmerov

Aj keď Descartes aj Fermat navrhli použitie troch súradníc na štúdium kriviek a povrchov v priestore, trojrozmerná analytická geometria sa vyvíjala pomaly až do roku 1730.

Matematici Euler, Hermann a Clairaut vytvorili všeobecné rovnice pre valce, kužele a povrchy revolúcie.

Napríklad Euler použil rovnice na preklady v priestore na transformáciu všeobecnej kvadratickej plochy tak, aby sa jej hlavné osi zhodovali s jej súradnicovými osami.

Euler, Joseph-Louis Lagrange a Gaspard Monge urobili analytickú geometriu nezávislou od syntetickej (neanalytickej) geometrie.

Referencie

1. Vývoj analytickej geometrie (2001). Obnovené z encyklopédie.com
2. História analytickej geometrie (2015). Obnovené z adresy maa.org
3. Analýza (matematika). Obnovené zo stránky britannica.com
4. Analytická geometria. Obnovené zo stránky britannica.com
5. Descartes a zrod analytickej geometrie. Obnovené zo stránky sciusalirect.com