KOMPLEXNÉ ČÍSLA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY, OPERÁCIE - MATEMATIKA - 2025

Tieto komplexné čísla sú číselná ktorý pokrýva reálne čísla a všetky korene polynómov, vrátane pary koreňov záporných čísel. Tieto korene neexistujú v množine reálnych čísel, ale v komplexných číslach existuje riešenie.

Komplexné číslo pozostáva zo skutočnej časti a časti nazývanej „imaginárny“. Skutočná časť sa nazýva napríklad a imaginárna časť ib, kde a a b sú reálne čísla a „i“ ako imaginárna jednotka. Týmto spôsobom má komplexné číslo podobu:

Obrázok 1. - Binomické znázornenie komplexného čísla z hľadiska skutočnej časti a imaginárnej časti. Zdroj: Pixabay.

Príklady komplexných čísel sú 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Predtým, ako s nimi začneme pracovať, uvidíme, odkiaľ imaginárna jednotka i pochádza, s ohľadom na túto kvadratickú rovnicu:

x ² - 10 x + 34 = 0

V ktorom a = 1, b = -10 a c = 34.

Keď použijeme rozlišovací vzorec na určenie riešenia, zistíme nasledujúce:

Ako zistiť hodnotu √-36? Neexistuje žiadne skutočné číslo, ktoré na druhú stranu produkuje záporné množstvo. Potom sa dospelo k záveru, že táto rovnica nemá reálne riešenia.

Môžeme však napísať toto:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Ak definujeme určitú hodnotu x tak, že:

x ² = -1

takže:

x = ± √-1

A uvedená rovnica by mala riešenie. Preto bola imaginárna jednotka definovaná ako:

i = √-1

A tak:

√-36 = 6i

Mnoho matematikov staroveku pracovalo na riešení podobných problémov, najmä renesančný Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) a Raffaele Bombelli (1526-1572).

O niekoľko rokov neskôr René Descartes (1596 - 1650) nazval v tomto príklade množstvá „imaginárne“ ako √-36. Z tohto dôvodu je √-1 známy ako imaginárna jednotka.

Vlastnosti komplexných čísel

- Súbor komplexných čísel je označený ako C a obsahuje skutočné čísla R a imaginárne čísla Im. Číselné sady sú zobrazené v Vennovom diagrame, ako je to znázornené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 2. Venn diagram množín čísel. Zdroj: F. Zapata.

-Všetky komplexné číslo pozostáva zo skutočnej časti a imaginárnej časti.

- Ak je imaginárna časť komplexného čísla 0, jedná sa o čisté reálne číslo.

- Ak je skutočná časť komplexného čísla 0, potom je toto číslo čisto imaginárne.

- Dve komplexné čísla sú rovnaké, ak sú ich skutočná časť a imaginárna časť rovnaké.

- S komplexnými číslami sa vykonávajú známe operácie sčítania, odčítania, násobenia, produktu a vylepšenia, čo vedie k inému komplexnému číslu.

Reprezentácia komplexných čísel

Komplexné čísla môžu byť zastúpené rôznymi spôsobmi. Tu sú hlavné:

- Binomická forma

Je to forma daná na začiatku, kde z je komplexné číslo, a je skutočná časť, b je imaginárna časť a i je imaginárna jednotka:

Alebo tiež:

Jedným zo spôsobov, ako nakresliť komplexné číslo, je zložitá rovina znázornená na tomto obrázku. Imaginárna os Im je zvislá, zatiaľ čo skutočná os je vodorovná a označuje sa ako Re.

Komplexné číslo z je v tejto rovine reprezentované ako súradnicový bod (x, y) alebo (a, b), ako je to v prípade bodov skutočnej roviny.

Vzdialenosť od počiatku k bodu z je modul komplexného čísla, označeného ako r, zatiaľ čo φ je uhol, ktorý robí r so skutočnou osou.

Obrázok 3. Reprezentácia komplexného čísla v komplexnej rovine. Zdroj: Wikimedia Commons.

Táto reprezentácia úzko súvisí so znázornením vektorov v reálnej rovine. Hodnota r zodpovedá modulu komplexného čísla.

- Polárny tvar

Polárna forma pozostáva z vyjadrenia komplexného čísla udaním hodnôt r a φ. Ak sa pozrieme na obrázok, hodnota r zodpovedá preponu pravého trojuholníka. Nohy majú hodnotu aab, alebo x a y.

Z binomického alebo binomického tvaru sa môžeme presunúť do polárneho tvaru:

Uhol φ je ten, ktorý tvorí segment r s vodorovnou osou alebo imaginárnou osou. Je známy ako argument komplexného čísla. Touto cestou:

Tento argument má nekonečné hodnoty, berúc do úvahy, že zakaždým, keď sa otočí zákruta, ktorá má hodnotu 2π radiány, r opäť zaujíma rovnakú pozíciu. Týmto všeobecným spôsobom sa argument z, označený ako Arg (z), vyjadruje takto:

Ak je k celé číslo a používa sa na označenie počtu otáčok: 2, 3, 4…. Značka označuje smer otáčania, ak je v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.

Obrázok 4. Polárne znázornenie komplexného čísla v komplexnej rovine. Zdroj: Wikimedia Commons.

A ak chceme ísť z polárnej formy do binomickej formy, použijeme trigonometrické pomery. Z predchádzajúceho obrázku je zrejmé, že:

x = r cos φ

y = r hriechu φ

Týmto spôsobom z = r (cos φ + i sin φ)

Skrátené takto:

z = r cis

Príklady zložitých čísel

Nasledujúce komplexné čísla sú uvedené v binomickej podobe:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

A to vo forme objednaného páru:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Nakoniec je táto skupina uvedená v polárnej alebo trigonometrickej forme:

a) -2 cis-45 °

b) -3 cis 30 °

c) 2 cis 315 °

Na čo sú?

Užitočnosť komplexných čísel presahuje riešenie kvadratickej rovnice uvedenej na začiatku, pretože sú nevyhnutné v oblasti strojárstva a fyziky, najmä v:

- Štúdium elektromagnetických vĺn

-Analýza striedavého prúdu a napätia

- Modelovanie všetkých druhov signálov

- Teória relativity, kde sa čas považuje za imaginárnu veľkosť.

Zložité číselné operácie

S komplexnými číslami môžeme vykonávať všetky operácie, ktoré sa vykonávajú so skutočnými. Niektoré sa dajú ľahšie urobiť, ak čísla prichádzajú v binomickej podobe, napríklad sčítanie a odčítanie. Naopak, množenie a delenie sú jednoduchšie, ak sa uskutočňujú s polárnou formou.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

- Príklad 1

Pridať z ₁ = 2 + 5i a z ₂ = -3 -8i

Riešenie

Skutočné časti sa pridávajú oddelene od imaginárnych častí:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Príklad 2

Násobenie Z ₁ = 4 cis 45º a z ₂ = 5 cis-120 °

Riešenie

Môže sa preukázať, že súčin dvoch komplexných čísel v polárnej alebo trigonometrickej forme je daný:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Na základe tohto:

z ₁ . Z ₂ = (4 x 5), cis (45 + 120) = 20 cis 165º

prihláška

Jednoduchou aplikáciou komplexných čísel je nájsť všetky korene polynomickej rovnice, ako je tá, ktorá je uvedená na začiatku článku.

V prípade rovnice x ² - 10x + 34 = 0 dostaneme pomocou rozlišovacieho vzorca:

Riešenia sú preto tieto:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Referencie

1. Earl, R. Komplexné čísla. Obnovené z: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikované. Vydania CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Výber tém z matematiky. Publikácie Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplexné čísla. Obnovené z: en.wikipedia.org